Номер 679, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

679. a) $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha};$

б) $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha};$

в) $\sin 2\alpha (\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = 2 \cos^2 (\alpha - \beta);$

г) $\sin 2\alpha (\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha - \cos 2\beta) = 2 \sin^2 (\alpha - \beta);$

д) $\cos^3 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \sin 4\alpha;$

е) $2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha;$

ж) $1 + 2 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha;$

з) $1 + 2 \cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha;$

и) $\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha;$

к) $\cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha.$

а) Докажем тождество $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $. Для этого преобразуем правую часть равенства, используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, где $ \alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $:
$ \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $
$ \cos \alpha = 1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} $
Подставим эти выражения в правую часть:
$ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2})}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} $
Сократив дробь на $ 2 \sin \frac{\alpha}{2} $, получаем:
$ \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \frac{\alpha}{2} $
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} $. Преобразуем правую часть, используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, где $ \alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $:
$ \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $
$ \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 $
Подставим эти выражения в правую часть:
$ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{1 + (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1)} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} $
Сократив дробь на $ 2 \cos \frac{\alpha}{2} $, получаем:
$ \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \frac{\alpha}{2} $
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $ \sin 2\alpha(\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = 2 \cos^2(\alpha - \beta) $.
Раскроем скобки в левой части:
$ \sin^2 2\alpha + \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos^2 2\alpha + \cos 2\alpha \cos 2\beta $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) + (\cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу косинуса разности $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $, получаем:
$ 1 + \cos(2\alpha - 2\beta) = 1 + \cos(2(\alpha - \beta)) $
Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $:
$ 1 + (2\cos^2(\alpha - \beta) - 1) = 2\cos^2(\alpha - \beta) $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $ \sin 2\alpha(\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha(\cos 2\alpha - \cos 2\beta) = 2 \sin^2(\alpha - \beta) $.
Раскроем скобки в левой части:
$ \sin^2 2\alpha - \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos^2 2\alpha - \cos 2\alpha \cos 2\beta $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) - (\cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta) $
Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности, получаем:
$ 1 - \cos(2\alpha - 2\beta) = 1 - \cos(2(\alpha - \beta)) $
Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$ 1 - (1 - 2\sin^2(\alpha - \beta)) = 2\sin^2(\alpha - \beta) $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

д) Докажем тождество $ \cos^3 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \sin 4\alpha $.
Вынесем общий множитель $ \sin \alpha \cos \alpha $ в левой части:
$ \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) $
Используем формулы двойного угла:
$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $
$ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha $
Подставим их в выражение:
$ \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha $
Снова применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, где $ x = 2\alpha $:
$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2\alpha) \right) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

е) Докажем тождество $ 2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha $.
Преобразуем первое слагаемое в левой части, используя формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов $ 2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) $:
$ 2 \sin 2\alpha \sin \alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos \alpha - \cos 3\alpha $
Подставим результат в левую часть исходного равенства:
$ (\cos \alpha - \cos 3\alpha) + \cos 3\alpha = \cos \alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

ж) Докажем тождество $ 1 + 2 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha $.
Сгруппируем слагаемые в левой части: $ (1 + \cos 4\alpha) + 2 \cos 2\alpha $.
Используем формулу $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $, где $ x = 2\alpha $:
$ 1 + \cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha $
Левая часть принимает вид:
$ 2 \cos^2 2\alpha + 2 \cos 2\alpha $
Вынесем общий множитель $ 2 \cos 2\alpha $:
$ 2 \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + 1) $
Снова применим формулу $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $, где $ x = \alpha $:
$ 2 \cos 2\alpha (2 \cos^2 \alpha) = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

з) Докажем тождество $ 1 + 2 \cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $.
Сгруппируем слагаемые в левой части: $ (1 + \cos 6\alpha) + 2 \cos 3\alpha $.
Используем формулу $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $, где $ x = 3\alpha $:
$ 1 + \cos 6\alpha = 2 \cos^2 3\alpha $
Левая часть принимает вид:
$ 2 \cos^2 3\alpha + 2 \cos 3\alpha $
Вынесем общий множитель $ 2 \cos 3\alpha $:
$ 2 \cos 3\alpha (\cos 3\alpha + 1) $
Снова применим формулу $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $, где $ x = \frac{3\alpha}{2} $:
$ 2 \cos 3\alpha \left( 2 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \right) = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

и) Докажем формулу синуса тройного угла $ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha $.
Представим $ 3\alpha $ как $ 2\alpha + \alpha $ и используем формулу синуса суммы:
$ \sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha $
Применим формулы двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $:
$ (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha + (1 - 2 \sin^2 \alpha) \sin \alpha $
$ = 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $
Заменим $ \cos^2 \alpha $ на $ 1 - \sin^2 \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества:
$ 2 \sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $
$ = 2 \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $
$ = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

к) Докажем формулу косинуса тройного угла $ \cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha $.
Представим $ 3\alpha $ как $ 2\alpha + \alpha $ и используем формулу косинуса суммы:
$ \cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha $
Применим формулы двойного угла $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $ и $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ (2 \cos^2 \alpha - 1) \cos \alpha - (2 \sin \alpha \cos \alpha) \sin \alpha $
$ = 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha $
Заменим $ \sin^2 \alpha $ на $ 1 - \cos^2 \alpha $:
$ 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 (1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha $
$ = 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 \cos \alpha + 2 \cos^3 \alpha $
$ = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.