Номер 682, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

682. Преобразуйте в сумму или разность:

а) $\cos 3\alpha \cos \alpha$;

б) $\sin 5\alpha \sin 3\alpha$;

в) $\sin 4\alpha \cos 2\alpha$;

г) $\cos \alpha \cos 2\alpha$;

д) $\sin 2\alpha \sin 3\alpha$;

е) $\sin \alpha \cos 4\alpha$.

а) Для преобразования произведения косинусов $\cos 3\alpha \cos \alpha$ в сумму применяется формула $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$. Примем $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $\cos 3\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha + \alpha) + \cos(3\alpha - \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 2\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 2\alpha)$

б) Для преобразования произведения синусов $\sin 5\alpha \sin 3\alpha$ в разность используется формула $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$. Примем $x = 5\alpha$ и $y = 3\alpha$. Тогда получаем: $\sin 5\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha - 3\alpha) - \cos(5\alpha + 3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha)$

в) Для преобразования произведения синуса на косинус $\sin 4\alpha \cos 2\alpha$ в сумму используется формула $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$. Примем $x = 4\alpha$ и $y = 2\alpha$. Тогда получаем: $\sin 4\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha + 2\alpha) + \sin(4\alpha - 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 6\alpha + \sin 2\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 6\alpha + \sin 2\alpha)$

г) Для преобразования произведения $\cos \alpha \cos 2\alpha$ используем формулу произведения косинусов: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$. Так как умножение коммутативно, $\cos \alpha \cos 2\alpha = \cos 2\alpha \cos \alpha$. Примем $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$. Тогда: $\cos 2\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha + \alpha) + \cos(2\alpha - \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 3\alpha + \cos \alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

д) Для преобразования произведения $\sin 2\alpha \sin 3\alpha$ используем формулу произведения синусов: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$. Так как умножение коммутативно, $\sin 2\alpha \sin 3\alpha = \sin 3\alpha \sin 2\alpha$. Примем $x = 3\alpha$ и $y = 2\alpha$. Тогда: $\sin 3\alpha \sin 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 2\alpha) - \cos(3\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha - \cos 5\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos \alpha - \cos 5\alpha)$

е) Для преобразования произведения $\sin \alpha \cos 4\alpha$ используем формулу произведения синуса на косинус: $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$. Примем $x = \alpha$ и $y = 4\alpha$. Тогда: $\sin \alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 4\alpha) + \sin(\alpha - 4\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin(-3\alpha))$. Учитывая, что синус - нечетная функция, то есть $\sin(-z) = -\sin z$, получаем: $\frac{1}{2}(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha)$