Номер 687, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

687. Как найти приближение числа с точностью до второго знака после запятой с округлением? Какова погрешность этого приближения?

Как найти приближение числа с точностью до второго знака после запятой с округлением?

Чтобы найти приближение числа с точностью до второго знака после запятой (до сотых), необходимо выполнить стандартную процедуру округления. Алгоритм следующий:
1. Находим цифру, стоящую во втором разряде после запятой (в разряде сотых). Эта цифра является последней, которая останется в приближенном значении.
2. Смотрим на следующую за ней цифру, то есть на третью цифру после запятой (цифру в разряде тысячных).
3. Применяем правило округления:
- Если третья цифра после запятой — это 0, 1, 2, 3 или 4, то вторую цифру после запятой оставляем без изменений. Все последующие цифры отбрасываются. Такое округление называют округлением с недостатком.
- Если третья цифра после запятой — это 5, 6, 7, 8 или 9, то вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу. Все последующие цифры отбрасываются. Такое округление называют округлением с избытком.

Пример 1: Округлить число $12.3429$ до сотых.
Второй знак после запятой — 4. Третий знак — 2. Поскольку $2 < 5$, вторую цифру оставляем без изменений.
Приближенное значение: $12.34$.

Пример 2: Округлить число $3.1485$ до сотых.
Второй знак после запятой — 4. Третий знак — 8. Поскольку $8 \ge 5$, вторую цифру увеличиваем на единицу ($4+1=5$).
Приближенное значение: $3.15$.

Пример 3: Округлить число $45.895$ до сотых.
Второй знак после запятой — 9. Третий знак — 5. Поскольку $5 \ge 5$, вторую цифру (9) нужно увеличить на единицу. $9+1=10$, поэтому в разряд сотых пишем 0, а к предыдущему разряду (десятым) добавляем 1. $8+1=9$.
Приближенное значение: $45.90$.

Ответ: Чтобы округлить число до второго знака после запятой, нужно посмотреть на третью цифру после запятой. Если эта цифра от 0 до 4, то вторую цифру после запятой оставляют без изменений, а все последующие отбрасывают. Если третья цифра от 5 до 9, то вторую цифру после запятой увеличивают на 1, а все последующие отбрасывают.

Какова погрешность этого приближения?

Погрешность приближения при округлении — это максимальное значение, на которое приближенное число может отличаться от точного. Формально, это верхняя граница модуля разности между точным числом $x$ и его приближением $a$: $|x - a|$.

При округлении до определенного разряда абсолютная погрешность не превышает половины единицы этого разряда.
В нашем случае округление производится до второго знака после запятой, то есть до разряда сотых. Вес (или единица) этого разряда равен $0.01$.
Следовательно, максимальная погрешность (точность) этого приближения равна половине от $0.01$.

Вычисляем значение погрешности:
$\frac{1}{2} \cdot 0.01 = 0.005$

Это значит, что для любого числа $x$, округленного до сотых до значения $a$, верно неравенство:
$|x - a| \le 0.005$.

Ответ: Погрешность приближения числа с округлением до второго знака после запятой не превышает $0.005$.