Страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

685. а) Что такое приближённое равенство?

б) Что такое погрешность и абсолютная погрешность приближения?

в) Каков знак приближённого равенства?

г) Что называют приближением с недостатком (снизу)?

д) Что называют приближением с избытком (сверху)?

а) Что такое приближённое равенство?
Приближённое равенство — это запись, которая показывает, что одно число или значение является близким, но не строго равным другому. Такое равенство используется, когда точное значение величины неизвестно, его сложно или долго вычислять, или оно является иррациональным числом (например, бесконечной непериодической дробью). Если число a является приближённым значением числа x, то это записывают с помощью знака «≈»: $x \approx a$. Например, число $\pi$ является иррациональным, и его точное значение в виде десятичной дроби записать невозможно. Поэтому на практике используют его приближённые значения, например, $\pi \approx 3,14$ или $\pi \approx \frac{22}{7}$.
Ответ: Приближённое равенство — это нестрогое равенство, которое показывает, что одно значение очень близко к другому, и обозначается знаком ≈.

б) Что такое погрешность и абсолютная погрешность приближения?
Погрешность приближения — это разность между точным значением величины и её приближённым значением. Если x — точное значение, а a — приближённое, то погрешность равна $x - a$. Погрешность может быть как положительной (когда приближение взято с недостатком), так и отрицательной (когда приближение взято с избытком).
Абсолютная погрешность приближения — это модуль (абсолютная величина) разности между точным значением и его приближённым значением. Она показывает, насколько велико отклонение приближённого значения от точного, независимо от направления (больше оно или меньше). Абсолютная погрешность вычисляется по формуле: $|x - a|$. Поскольку абсолютная погрешность всегда неотрицательна, она характеризует величину ошибки. Например, если точное значение $x = \frac{1}{3}$, а приближённое $a = 0,33$, то абсолютная погрешность равна $|\frac{1}{3} - 0,33| = |\frac{1}{3} - \frac{33}{100}| = |\frac{100 - 99}{300}| = \frac{1}{300}$.
Ответ: Погрешность — это разность между точным и приближённым значениями ($x - a$), а абсолютная погрешность — это модуль этой разности ($|x - a|$), показывающий величину ошибки.

в) Каков знак приближённого равенства?
Для обозначения приближённого равенства в математике используется специальный знак «≈». Этот символ состоит из двух волнистых линий, расположенных одна над другой, и читается как «приблизительно равно». Например, запись $\sqrt{2} \approx 1,41$ означает, что квадратный корень из двух приблизительно равен одной целой сорока одной сотой.
Ответ: Знак приближённого равенства — ≈.

г) Что называют приближением с недостатком (снизу)?
Приближением с недостатком (или приближением снизу) называют такое приближённое значение числа, которое меньше этого точного числа. Если a является приближением с недостатком для числа x, то выполняется неравенство $a < x$. Например, при округлении числа $\pi \approx 3,14159...$ до сотых, число 3,14 будет приближением с недостатком, так как $3,14 < \pi$.
Ответ: Приближение с недостатком — это приближённое значение, которое меньше точного значения.

д) Что называют приближением с избытком (сверху)?
Приближением с избытком (или приближением сверху) называют такое приближённое значение числа, которое больше этого точного числа. Если a является приближением с избытком для числа x, то выполняется неравенство $a > x$. Например, при округлении числа $\sqrt{2} \approx 1,41421...$ до тысячных с избытком, мы получим число 1,415. Это будет приближением с избытком, так как $1,415 > \sqrt{2}$.
Ответ: Приближение с избытком — это приближённое значение, которое больше точного значения.

686. С какой точностью приближает число $a_1 (a_2)$ число $a$, если $a_1 \le a \le a_2$?

В задаче рассматриваются два случая: когда число $a$ приближается числом $a_1$ и когда оно приближается числом $a_2$.

Приближение числа $a$ числом $a_1$

Точность приближения — это максимальное значение абсолютной погрешности. Абсолютная погрешность приближения числа $a$ числом $a_1$ равна $|a - a_1|$. Нам нужно найти ее максимальное значение при условии $a_1 \le a \le a_2$.

Исходя из условия $a \ge a_1$, разность $a - a_1$ всегда неотрицательна. Следовательно, мы можем убрать модуль: $|a - a_1| = a - a_1$.

Теперь найдем максимальное значение выражения $a - a_1$. Для этого воспользуемся второй частью неравенства, $a \le a_2$. Вычтем $a_1$ из обеих частей:

$a - a_1 \le a_2 - a_1$

Таким образом, мы имеем двойное неравенство для погрешности:

$0 \le a - a_1 \le a_2 - a_1$

Максимальное значение погрешности достигается, когда $a$ принимает свое наибольшее возможное значение, то есть $a = a_2$. Это максимальное значение равно $a_2 - a_1$.

Ответ: точность приближения составляет $a_2 - a_1$.

Приближение числа $a$ числом $a_2$

Аналогично, найдем точность приближения числа $a$ числом $a_2$. Абсолютная погрешность в этом случае равна $|a - a_2|$.

Из условия $a \le a_2$ следует, что разность $a - a_2$ всегда неположительна. Значит, $|a - a_2| = -(a - a_2) = a_2 - a$.

Найдем максимальное значение выражения $a_2 - a$. Для этого воспользуемся первой частью исходного неравенства, $a_1 \le a$. Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства изменится):

$-a_1 \ge -a$

Теперь прибавим $a_2$ к обеим частям:

$a_2 - a_1 \ge a_2 - a$

Учитывая, что $a_2 - a$ всегда неотрицательна, получаем двойное неравенство для погрешности:

$0 \le a_2 - a \le a_2 - a_1$

Максимальное значение погрешности достигается, когда $a$ принимает свое наименьшее возможное значение, то есть $a = a_1$. Это максимальное значение равно $a_2 - a_1$.

Ответ: точность приближения составляет $a_2 - a_1$.

687. Как найти приближение числа с точностью до второго знака после запятой с округлением? Какова погрешность этого приближения?

Как найти приближение числа с точностью до второго знака после запятой с округлением?

Чтобы найти приближение числа с точностью до второго знака после запятой (до сотых), необходимо выполнить стандартную процедуру округления. Алгоритм следующий:
1. Находим цифру, стоящую во втором разряде после запятой (в разряде сотых). Эта цифра является последней, которая останется в приближенном значении.
2. Смотрим на следующую за ней цифру, то есть на третью цифру после запятой (цифру в разряде тысячных).
3. Применяем правило округления:
- Если третья цифра после запятой — это 0, 1, 2, 3 или 4, то вторую цифру после запятой оставляем без изменений. Все последующие цифры отбрасываются. Такое округление называют округлением с недостатком.
- Если третья цифра после запятой — это 5, 6, 7, 8 или 9, то вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу. Все последующие цифры отбрасываются. Такое округление называют округлением с избытком.

Пример 1: Округлить число $12.3429$ до сотых.
Второй знак после запятой — 4. Третий знак — 2. Поскольку $2 < 5$, вторую цифру оставляем без изменений.
Приближенное значение: $12.34$.

Пример 2: Округлить число $3.1485$ до сотых.
Второй знак после запятой — 4. Третий знак — 8. Поскольку $8 \ge 5$, вторую цифру увеличиваем на единицу ($4+1=5$).
Приближенное значение: $3.15$.

Пример 3: Округлить число $45.895$ до сотых.
Второй знак после запятой — 9. Третий знак — 5. Поскольку $5 \ge 5$, вторую цифру (9) нужно увеличить на единицу. $9+1=10$, поэтому в разряд сотых пишем 0, а к предыдущему разряду (десятым) добавляем 1. $8+1=9$.
Приближенное значение: $45.90$.

Ответ: Чтобы округлить число до второго знака после запятой, нужно посмотреть на третью цифру после запятой. Если эта цифра от 0 до 4, то вторую цифру после запятой оставляют без изменений, а все последующие отбрасывают. Если третья цифра от 5 до 9, то вторую цифру после запятой увеличивают на 1, а все последующие отбрасывают.

Какова погрешность этого приближения?

Погрешность приближения при округлении — это максимальное значение, на которое приближенное число может отличаться от точного. Формально, это верхняя граница модуля разности между точным числом $x$ и его приближением $a$: $|x - a|$.

При округлении до определенного разряда абсолютная погрешность не превышает половины единицы этого разряда.
В нашем случае округление производится до второго знака после запятой, то есть до разряда сотых. Вес (или единица) этого разряда равен $0.01$.
Следовательно, максимальная погрешность (точность) этого приближения равна половине от $0.01$.

Вычисляем значение погрешности:
$\frac{1}{2} \cdot 0.01 = 0.005$

Это значит, что для любого числа $x$, округленного до сотых до значения $a$, верно неравенство:
$|x - a| \le 0.005$.

Ответ: Погрешность приближения числа с округлением до второго знака после запятой не превышает $0.005$.

688. а) Как читают выражение $a \approx a_1$?

б) Можно ли считать равенство $3 = 3$ приближённым равенством?

a) Выражение $a \approx a_1$ является записью приближённого равенства. Знак «$\approx$» означает «приближённо равно». Данное выражение читается так: «а приближённо равно а первому». Это означает, что значение $a_1$ является приближением точного значения $a$, и разница между ними достаточно мала для рассматриваемой задачи.

Ответ: Выражение $a \approx a_1$ читается: «а приближённо равно а первому».

б) Приближённое равенство $x \approx y$ означает, что значение $x$ близко к значению $y$. Количественно эта близость оценивается абсолютной погрешностью приближения, которая равна модулю разности этих чисел: $|x - y|$. Чем меньше абсолютная погрешность, тем точнее приближение.

Равенство $3 = 3$ является точным равенством. Вычислим для него абсолютную погрешность, считая одно число приближением другого:

$|3 - 3| = 0$

Абсолютная погрешность равна нулю. Это означает, что данное приближение является абсолютно точным. Таким образом, любое точное равенство можно рассматривать как предельный, или идеальный, случай приближённого равенства, в котором погрешность равна нулю. Это самое точное из всех возможных приближений.

Ответ: Да, можно. Точное равенство является частным случаем приближённого равенства, в котором абсолютная погрешность равна нулю.

689. Какие из чисел можно считать точными, а какие — приближенными значениями величин:

а) 7439 м — высота пика Победы;

б) 16 см — ширина тетради;

в) 100 копеек есть один рубль;

г) $12^{\circ}$ — температура воздуха?

Чтобы определить, является ли число точным или приближенным, необходимо проанализировать его происхождение. Точные числа получаются в результате счета (например, количество предметов) или являются установленными по определению (например, в 1 часе ровно 60 минут). Приближенные числа, как правило, являются результатом измерений физических величин, поскольку любой измерительный процесс и прибор имеют погрешность.

а) 7439 м — высота пика Победы;
Высота горы — это величина, которую получают путем измерений. Измерения производятся с помощью специальных инструментов, таких как альтиметры, GPS-приемники, или с помощью геодезических методов. Любое измерение сопряжено с некоторой погрешностью, зависящей от точности приборов, условий и методики измерения. Поэтому значение высоты горы всегда является приближенным.
Ответ: приближенное значение.

б) 16 см — ширина тетради;
Ширина тетради — это результат измерения длины. При измерении с помощью линейки или другого подобного инструмента мы получаем значение с ограниченной точностью (например, до миллиметра). Даже если тетради производятся по определенному стандарту, их реальные размеры могут незначительно отличаться. Таким образом, это значение, полученное измерением, является приближенным.
Ответ: приближенное значение.

в) 100 копеек есть один рубль;
Это соотношение является определением, установленным в денежной системе государства. Оно не является результатом какого-либо измерения. Это точное, установленное по соглашению равенство. Количество копеек в рубле — это точное число.
Ответ: точное значение.

г) $12^{\circ}$ — температура воздуха?
Температура — это физическая величина, которую измеряют с помощью прибора, называемого термометром. Любой измерительный прибор имеет свою погрешность. Кроме того, температура воздуха постоянно колеблется, и зафиксированное значение представляет собой лишь мгновенное состояние. Следовательно, измеренное значение температуры является приближенным.
Ответ: приближенное значение.

690. Укажите абсолютную погрешность приближения для следующего приближённого равенства:

а) $2,7 \approx 3$;

б) $5,789 \approx 5,79$;

в) $0,83 \approx 0,8$;

г) $32 \approx 30$.

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением (обозначим его $x$) и приближенным значением (обозначим его $a$). Она вычисляется по формуле: $\Delta = |x - a|$.

а) В приближенном равенстве $2,7 \approx 3$ точным значением является $x = 2,7$, а приближенным — $a = 3$.
Вычислим абсолютную погрешность: $\Delta = |2,7 - 3| = |-0,3| = 0,3$.
Ответ: 0,3

б) В приближенном равенстве $5,789 \approx 5,79$ точным значением является $x = 5,789$, а приближенным — $a = 5,79$.
Вычислим абсолютную погрешность: $\Delta = |5,789 - 5,79| = |5,789 - 5,790| = |-0,001| = 0,001$.
Ответ: 0,001

в) В приближенном равенстве $0,83 \approx 0,8$ точным значением является $x = 0,83$, а приближенным — $a = 0,8$.
Вычислим абсолютную погрешность: $\Delta = |0,83 - 0,8| = |0,83 - 0,80| = |0,03| = 0,03$.
Ответ: 0,03

г) В приближенном равенстве $32 \approx 30$ точным значением является $x = 32$, а приближенным — $a = 30$.
Вычислим абсолютную погрешность: $\Delta = |32 - 30| = |2| = 2$.
Ответ: 2

691. Для приближённого значения числа $ \frac{3}{7} $ укажите абсолютную погрешность приближения:

а) 0,4;

б) 0,5;

в) 0,42;

г) 0,43.

Для решения задачи необходимо для каждого из предложенных приближённых значений числа $\frac{3}{7}$ найти абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность (или абсолютная ошибка) приближения, обозначаемая $\Delta$, вычисляется как модуль разности между точным значением $x$ и его приближённым значением $a$. Формула имеет вид: $\Delta = |x - a|$. В нашем случае точное значение $x = \frac{3}{7}$.

Для приближённого значения $a = 0,4$ абсолютная погрешность равна:$\Delta = |\frac{3}{7} - 0,4|$.Представим десятичную дробь $0,4$ в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.Теперь вычислим разность, приведя дроби к общему знаменателю $35$:$\Delta = |\frac{3}{7} - \frac{2}{5}| = |\frac{3 \cdot 5}{35} - \frac{2 \cdot 7}{35}| = |\frac{15 - 14}{35}| = |\frac{1}{35}| = \frac{1}{35}$.
Ответ: $\frac{1}{35}$.

Для приближённого значения $a = 0,5$ абсолютная погрешность равна:$\Delta = |\frac{3}{7} - 0,5|$.Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.Вычислим разность, приведя дроби к общему знаменателю $14$:$\Delta = |\frac{3}{7} - \frac{1}{2}| = |\frac{3 \cdot 2}{14} - \frac{1 \cdot 7}{14}| = |\frac{6 - 7}{14}| = |-\frac{1}{14}| = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$.

Для приближённого значения $a = 0,42$ абсолютная погрешность равна:$\Delta = |\frac{3}{7} - 0,42|$.Представим $0,42$ в виде обыкновенной дроби: $0,42 = \frac{42}{100} = \frac{21}{50}$.Вычислим разность, приведя дроби к общему знаменателю $350$:$\Delta = |\frac{3}{7} - \frac{21}{50}| = |\frac{3 \cdot 50}{350} - \frac{21 \cdot 7}{350}| = |\frac{150 - 147}{350}| = |\frac{3}{350}| = \frac{3}{350}$.
Ответ: $\frac{3}{350}$.

Для приближённого значения $a = 0,43$ абсолютная погрешность равна:$\Delta = |\frac{3}{7} - 0,43|$.Представим $0,43$ в виде обыкновенной дроби: $0,43 = \frac{43}{100}$.Вычислим разность, приведя дроби к общему знаменателю $700$:$\Delta = |\frac{3}{7} - \frac{43}{100}| = |\frac{3 \cdot 100}{700} - \frac{43 \cdot 7}{700}| = |\frac{300 - 301}{700}| = |-\frac{1}{700}| = \frac{1}{700}$.
Ответ: $\frac{1}{700}$.

692. а) С какой точностью можно измерять длины с помощью обыкновенной линейки?

б) С какой точностью показывают время электронные наручные часы?

а) Точность измерения длины с помощью измерительного прибора определяется ценой деления его шкалы. Цена деления – это значение, соответствующее наименьшему промежутку между двумя соседними штрихами на шкале.

У обыкновенной линейки, используемой в школе или в быту, шкала, как правило, имеет деления, соответствующие миллиметрам (мм). Таким образом, цена деления стандартной линейки составляет 1 мм. Это означает, что наименьшая длина, которую можно непосредственно измерить этим прибором, равна 1 мм.

Принято считать, что абсолютная погрешность однократного прямого измерения равна половине цены деления прибора. Для линейки погрешность составит:

$\Delta l = \frac{1 \text{ мм}}{2} = 0,5 \text{ мм}$

Таким образом, хотя погрешность измерения составляет 0,5 мм, сама точность, с которой прибор позволяет снимать показания, определяется его наименьшим делением.

Ответ: с помощью обыкновенной линейки можно измерять длины с точностью до 1 мм.

б) Точность, с которой электронные наручные часы показывают время, определяется наименьшей единицей времени, которую они отображают на своем дисплее.

Большинство стандартных электронных наручных часов показывают время в формате "часы:минуты:секунды". Последняя цифра, которая изменяется на дисплее, соответствует секундам. Следовательно, наименьший интервал времени, который такие часы отсчитывают и показывают, равен одной секунде (1 с).

Некоторые модели часов, например, спортивные с функцией секундомера, могут показывать десятые или даже сотые доли секунды, но для обычных электронных наручных часов, предназначенных для повседневного использования, стандартной точностью отображения является 1 секунда.

Ответ: электронные наручные часы показывают время с точностью до 1 секунды.