Страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

682. Преобразуйте в сумму или разность:

а) $\cos 3\alpha \cos \alpha$;

б) $\sin 5\alpha \sin 3\alpha$;

в) $\sin 4\alpha \cos 2\alpha$;

г) $\cos \alpha \cos 2\alpha$;

д) $\sin 2\alpha \sin 3\alpha$;

е) $\sin \alpha \cos 4\alpha$.

а) Для преобразования произведения косинусов $\cos 3\alpha \cos \alpha$ в сумму применяется формула $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$. Примем $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $\cos 3\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha + \alpha) + \cos(3\alpha - \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 2\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 2\alpha)$

б) Для преобразования произведения синусов $\sin 5\alpha \sin 3\alpha$ в разность используется формула $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$. Примем $x = 5\alpha$ и $y = 3\alpha$. Тогда получаем: $\sin 5\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha - 3\alpha) - \cos(5\alpha + 3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha)$

в) Для преобразования произведения синуса на косинус $\sin 4\alpha \cos 2\alpha$ в сумму используется формула $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$. Примем $x = 4\alpha$ и $y = 2\alpha$. Тогда получаем: $\sin 4\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha + 2\alpha) + \sin(4\alpha - 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 6\alpha + \sin 2\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 6\alpha + \sin 2\alpha)$

г) Для преобразования произведения $\cos \alpha \cos 2\alpha$ используем формулу произведения косинусов: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$. Так как умножение коммутативно, $\cos \alpha \cos 2\alpha = \cos 2\alpha \cos \alpha$. Примем $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$. Тогда: $\cos 2\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha + \alpha) + \cos(2\alpha - \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 3\alpha + \cos \alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

д) Для преобразования произведения $\sin 2\alpha \sin 3\alpha$ используем формулу произведения синусов: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$. Так как умножение коммутативно, $\sin 2\alpha \sin 3\alpha = \sin 3\alpha \sin 2\alpha$. Примем $x = 3\alpha$ и $y = 2\alpha$. Тогда: $\sin 3\alpha \sin 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 2\alpha) - \cos(3\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha - \cos 5\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos \alpha - \cos 5\alpha)$

е) Для преобразования произведения $\sin \alpha \cos 4\alpha$ используем формулу произведения синуса на косинус: $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$. Примем $x = \alpha$ и $y = 4\alpha$. Тогда: $\sin \alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 4\alpha) + \sin(\alpha - 4\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin(-3\alpha))$. Учитывая, что синус - нечетная функция, то есть $\sin(-z) = -\sin z$, получаем: $\frac{1}{2}(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha)$

683. Доказываем. Докажите, что:

a) $\sin \frac{9\pi}{28} \cos \frac{5\pi}{28} - \sin \frac{6\pi}{35} \cos \frac{\pi}{35} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{5};$

б) $\cos \frac{3\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} - \cos \frac{5\pi}{16} \cos \frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$

Чтобы доказать тождество $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} - \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} $, преобразуем левую часть равенства, используя формулу произведения синуса на косинус: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к первому члену $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} $, где $ \alpha = \frac{9\pi}{28} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{28} $:

$ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{9\pi}{28} + \frac{5\pi}{28}\right) + \sin\left(\frac{9\pi}{28} - \frac{5\pi}{28}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{14\pi}{28} + \sin\frac{4\pi}{28}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{7}\right) $.

Поскольку $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $, выражение становится:

$ \frac{1}{2}\left(1 + \sin\frac{\pi}{7}\right) $.

Теперь применим ту же формулу ко второму члену $ \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} $, где $ \alpha = \frac{6\pi}{35} $ и $ \beta = \frac{\pi}{35} $:

$ \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{6\pi}{35} + \frac{\pi}{35}\right) + \sin\left(\frac{6\pi}{35} - \frac{\pi}{35}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{7\pi}{35} + \sin\frac{5\pi}{35}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{\pi}{7}\right) $.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{1}{2}\left(1 + \sin\frac{\pi}{7}\right) - \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{\pi}{7}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7} $.

После сокращения подобных членов получаем:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} $.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Чтобы доказать тождество $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4} $, преобразуем левую часть равенства, используя формулу произведения косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к первому члену $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} $, где $ \alpha = \frac{3\pi}{16} $ и $ \beta = \frac{\pi}{16} $:

$ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{16}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{16} - \frac{\pi}{16}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{4\pi}{16} + \cos\frac{2\pi}{16}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{8}\right) $.

Теперь применим ту же формулу ко второму члену $ \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} $, где $ \alpha = \frac{5\pi}{16} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{16} $:

$ \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{16} - \frac{3\pi}{16}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{8\pi}{16} + \cos\frac{2\pi}{16}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{8}\right) $.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{8}\right) - \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{8} $.

После сокращения подобных членов получаем:

$ \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} $.

Подставим известные значения $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

684. Вычислите:

а) $sin \frac{11\pi}{24} sin \frac{5\pi}{24};$

б) $cos \frac{13\pi}{24} cos \frac{7\pi}{24};$

в) $sin \frac{7\pi}{24} cos \frac{\pi}{24};$

г) $cos \frac{7\pi}{20} cos \frac{3\pi}{20} - sin \frac{\pi}{15} sin \frac{4\pi}{15};$

д) $cos \frac{11\pi}{56} cos \frac{3\pi}{56} - sin \frac{11\pi}{42} sin \frac{17\pi}{42}.$

а) Для решения используем формулу преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $.
В данном случае $ \alpha = \frac{11\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{24} $.
$ \sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{5\pi}{24} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{11\pi}{24} - \frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{11\pi}{24} + \frac{5\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{6\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{16\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right] $.
Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} + 1}{4} $.

б) Для решения используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] $.
В данном случае $ \alpha = \frac{13\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{24} $.
$ \cos \frac{13\pi}{24} \cos \frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{13\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{24} + \frac{7\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{6\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{20\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right] $.
Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} $.

в) Для решения используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $.
В данном случае $ \alpha = \frac{7\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{24} $.
$ \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{8\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{6\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right] $.
Мы знаем, что $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} $.

г) Преобразуем каждое произведение в выражении отдельно, используя формулы преобразования произведения в сумму.
Первый член: $ \cos \frac{7\pi}{20} \cos \frac{3\pi}{20} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{7\pi}{20} - \frac{3\pi}{20}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{20} + \frac{3\pi}{20}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{4\pi}{20}\right) + \cos\left(\frac{10\pi}{20}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{5} + 0 \right) = \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{5} $.
Второй член: $ \sin \frac{\pi}{15} \sin \frac{4\pi}{15} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{4\pi}{15} - \frac{\pi}{15}\right) - \cos\left(\frac{4\pi}{15} + \frac{\pi}{15}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{3\pi}{15}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{15}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} \right) $.
Теперь вычтем второй результат из первого: $ \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

д) Преобразуем каждое произведение в выражении отдельно, используя формулы преобразования произведения в сумму.
Первый член: $ \cos \frac{11\pi}{56} \cos \frac{3\pi}{56} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{11\pi}{56} - \frac{3\pi}{56}\right) + \cos\left(\frac{11\pi}{56} + \frac{3\pi}{56}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{8\pi}{56}\right) + \cos\left(\frac{14\pi}{56}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right] $.
Второй член: $ \sin \frac{11\pi}{42} \sin \frac{17\pi}{42} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{17\pi}{42} - \frac{11\pi}{42}\right) - \cos\left(\frac{17\pi}{42} + \frac{11\pi}{42}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{6\pi}{42}\right) - \cos\left(\frac{28\pi}{42}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right] $.
Теперь вычтем второй результат из первого: $ \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{7} + \cos\frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{7} - \cos\frac{2\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3} $.
Подставляем известные значения $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}-1}{4} $.