Страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

653. Запишите формулу:

а) синуса двойного угла;

б) косинуса двойного угла.

а) синуса двойного угла

Формула синуса двойного угла выражает синус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Она является частным случаем формулы синуса суммы двух углов, которая выглядит так:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Для того чтобы получить формулу для синуса двойного угла, необходимо в формуле суммы положить, что второй угол $\beta$ равен первому углу $\alpha$:

$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha \cos\alpha + \cos\alpha \sin\alpha$

После приведения подобных слагаемых, получаем искомую формулу:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$

Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

б) косинуса двойного угла

Формула косинуса двойного угла выражает косинус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Аналогично синусу двойного угла, эта формула выводится из формулы косинуса суммы двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Положим в этой формуле $\beta = \alpha$:

$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha \cos\alpha - \sin\alpha \sin\alpha$

Таким образом, основная формула для косинуса двойного угла имеет вид:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Эту формулу можно представить в двух других видах, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

1. Заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

2. Заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$

Все три формы записи являются правильными и используются в зависимости от условий задачи.

Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, или $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, или $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

654. Чему равен квадрат:

а) синуса половинного угла;

б) косинуса половинного угла?

а) синуса половинного угла;

Чтобы найти формулу для квадрата синуса половинного угла, то есть для выражения $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, мы используем одну из формул косинуса двойного угла. Формула, связывающая косинус двойного угла с синусом, выглядит так:

$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$

Сделаем замену переменной, чтобы получить половинный угол. Пусть $x = \frac{\alpha}{2}$. Тогда $2x = \alpha$. Подставим эти значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь из этого уравнения нужно выразить $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Перенесем слагаемые:

$2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \cos(\alpha)$

Разделив обе части уравнения на 2, получим искомую формулу:

$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$

Эта формула также известна как формула понижения степени для синуса.

Ответ: $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$

б) косинуса половинного угла?

Для нахождения квадрата косинуса половинного угла, то есть для выражения $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, мы также воспользуемся формулой косинуса двойного угла. На этот раз используем формулу, связывающую его с косинусом:

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену $x = \frac{\alpha}{2}$, из которой следует, что $2x = \alpha$. Подставим в формулу:

$\cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$

Теперь выразим из этого уравнения $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Для этого сначала перенесем -1 в левую часть:

$1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Разделив обе части уравнения на 2, получим окончательную формулу:

$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$

Эта формула также известна как формула понижения степени для косинуса.

Ответ: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$

655. Запишите следующие углы в виде $2\alpha$, где угол $\alpha$ равен:

а) $30^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $\frac{\pi}{2}$;

г) $\frac{\pi}{3}$;

д) $4\pi$;

е) $\pi$;

ж) $\frac{3\pi}{2}$.

В данной задаче требуется найти удвоенное значение для каждого из предложенных углов $ \alpha $.

а)

Для заданного угла $ \alpha = 30^{\circ} $ искомый угол $ 2\alpha $ вычисляется следующим образом:

$ 2\alpha = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} $.

Ответ: $ 60^{\circ} $.

б)

Для заданного угла $ \alpha = 90^{\circ} $ искомый угол $ 2\alpha $ вычисляется следующим образом:

$ 2\alpha = 2 \cdot 90^{\circ} = 180^{\circ} $.

Ответ: $ 180^{\circ} $.

в)

Для заданного угла $ \alpha = \frac{\pi}{2} $ искомый угол $ 2\alpha $ вычисляется следующим образом:

$ 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi $.

Ответ: $ \pi $.

г)

Для заданного угла $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ искомый угол $ 2\alpha $ вычисляется следующим образом:

$ 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $.

д)

Для заданного угла $ \alpha = 4\pi $ искомый угол $ 2\alpha $ вычисляется следующим образом:

$ 2\alpha = 2 \cdot 4\pi = 8\pi $.

Ответ: $ 8\pi $.

е)

Для заданного угла $ \alpha = \pi $ искомый угол $ 2\alpha $ вычисляется следующим образом:

$ 2\alpha = 2 \cdot \pi = 2\pi $.

Ответ: $ 2\pi $.

ж)

Для заданного угла $ \alpha = \frac{3\pi}{2} $ искомый угол $ 2\alpha $ вычисляется следующим образом:

$ 2\alpha = 2 \cdot \frac{3\pi}{2} = 3\pi $.

Ответ: $ 3\pi $.

656. Упростите выражение:

a) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$;

б) $4 \sin 22^\circ 30^\prime \cos 22^\circ 30^\prime$;

в) $5 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$;

г) $\cos (-15^\circ) \sin (-15^\circ)$.

а) $2\sin 15^\circ \cos 15^\circ$

Данное выражение полностью соответствует формуле синуса двойного угла, где $\alpha = 15^\circ$.

Применяем формулу:

$2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $4\sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30'$

Сначала преобразуем выражение, представив коэффициент 4 как $2 \cdot 2$:

$4\sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30' = 2 \cdot (2\sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30')$.

Выражение в скобках соответствует формуле синуса двойного угла, где $\alpha = 22^\circ30'$. Учтем, что $30'$ (30 угловых минут) равны $0.5^\circ$, поэтому угол $\alpha = 22.5^\circ$.

Применяем формулу:

$2 \cdot (2\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ) = 2 \cdot \sin(2 \cdot 22.5^\circ) = 2\sin(45^\circ)$.

Табличное значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $2\sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

в) $5\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}$

Преобразуем выражение, чтобы можно было применить формулу синуса двойного угла:

$5\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \frac{5}{2} \cdot (2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12})$.

Применим формулу к выражению в скобках, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$:

$2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{2\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.

Подставляем полученное значение обратно:

$\frac{5}{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{6})$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{6})$ (что соответствует $\sin(30^\circ)$) равно $\frac{1}{2}$.

Вычисляем конечный результат: $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$

г) $\cos(-15^\circ)\sin(-15^\circ)$

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), а синус — нечетная ($\sin(-x) = -\sin x$).

$\cos(-15^\circ)\sin(-15^\circ) = \cos(15^\circ) \cdot (-\sin(15^\circ)) = -\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$.

Из формулы синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.

Применим это соотношение для $\alpha = 15^\circ$:

$-\sin(15^\circ)\cos(15^\circ) = -\frac{\sin(2 \cdot 15^\circ)}{2} = -\frac{\sin(30^\circ)}{2}$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$-\frac{\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

657. Вычислите $sin 2\\alpha$, если:

а) $sin \\alpha = \\frac{1}{2}$, $0 < \\alpha < \\frac{\\pi}{2}$;

б) $cos \\alpha = -\\frac{1}{3}$, $\\frac{\\pi}{2} < \\alpha < \\pi$.

а)

Для вычисления $sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

По условию задачи $sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В первой четверти значения косинуса положительны.

Найдем значение $cos(\alpha)$ используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $cos^2(\alpha)$: $cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha)$.

Подставим известное значение $sin(\alpha)$:

$cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Так как $\alpha$ находится в первой четверти, $cos(\alpha) > 0$, поэтому $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем вычислить $sin(2\alpha)$:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б)

Снова используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

По условию задачи $cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти значения синуса положительны.

Найдем значение $sin(\alpha)$ используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $sin^2(\alpha)$: $sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha)$.

Подставим известное значение $cos(\alpha)$:

$sin^2(\alpha) = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Так как $\alpha$ находится во второй четверти, $sin(\alpha) > 0$, поэтому $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь вычислим $sin(2\alpha)$:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Упростите выражение (658—659):

658. a) $cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ;$

б) $sin^2 15^\circ - cos^2 15^\circ;$

в) $cos^2 20^\circ - sin^2 20^\circ;$

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha).$

а) Для упрощения выражения $cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

В данном случае, угол $\alpha = 15^\circ$. Подставив это значение в формулу, получаем:

$cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ = cos(2 \cdot 15^\circ) = cos(30^\circ)$

Значение косинуса $30^\circ$ является табличной величиной:

$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Выражение $sin^2 15^\circ - cos^2 15^\circ$ очень похоже на предыдущее. Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести его к стандартному виду формулы косинуса двойного угла:

$sin^2 15^\circ - cos^2 15^\circ = -(cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ)$

Теперь выражение в скобках соответствует формуле $cos(2\alpha)$ при $\alpha = 15^\circ$.

$-(cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ) = -cos(2 \cdot 15^\circ) = -cos(30^\circ)$

Так как $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то результат равен:

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Для упрощения выражения $cos^2 20^\circ - sin^2 20^\circ$ снова применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Здесь угол $\alpha = 20^\circ$.

$cos^2 20^\circ - sin^2 20^\circ = cos(2 \cdot 20^\circ) = cos(40^\circ)$

Так как $40^\circ$ не является углом, для которого значение косинуса выражается через простые радикалы, $cos(40^\circ)$ является конечной упрощенной формой.

Ответ: $cos(40^\circ)$

г) В выражении $(sin\,\alpha + cos\,\alpha)(cos\,\alpha - sin\,\alpha)$ можно узнать формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Для удобства поменяем местами слагаемые в первой скобке (от этого сумма не изменится): $(cos\,\alpha + sin\,\alpha)(cos\,\alpha - sin\,\alpha)$.

Теперь видно, что $a = cos\,\alpha$ и $b = sin\,\alpha$. Применяем формулу:

$(cos\,\alpha)^2 - (sin\,\alpha)^2 = cos^2\alpha - sin^2\alpha$

Это выражение, в свою очередь, является формулой косинуса двойного угла:

$cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos(2\alpha)$

Ответ: $cos(2\alpha)$

659. a) $\sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8}$;

б) $2 \sin 50^\circ \sin 40^\circ$;

в) $\cos^2 15^\circ - \cos^2 75^\circ$;

г) $(\sin 80^\circ + \sin 10^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ)$.

а) Вычислим значение выражения $\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8}$. Вынесем минус за скобки, чтобы привести выражение к виду формулы косинуса двойного угла: $\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} = -(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8})$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Получаем: $-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{2\pi}{8}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$. Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, итоговый результат: $-\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Упростим выражение $2 \sin50^\circ \sin40^\circ$. Для этого воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$. В нашем случае $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 40^\circ$. Подставим значения в формулу: $2 \sin50^\circ \sin40^\circ = \cos(50^\circ - 40^\circ) - \cos(50^\circ + 40^\circ) = \cos(10^\circ) - \cos(90^\circ)$. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, выражение упрощается до: $\cos(10^\circ) - 0 = \cos(10^\circ)$.
Ответ: $\cos(10^\circ)$.

в) Вычислим значение выражения $\cos^215^\circ - \cos^275^\circ$. Сначала используем формулу приведения для $\cos^275^\circ$. Так как $75^\circ = 90^\circ - 15^\circ$, то $\cos(75^\circ) = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin(15^\circ)$. Подставим это в исходное выражение: $\cos^215^\circ - \cos^275^\circ = \cos^215^\circ - (\sin15^\circ)^2 = \cos^215^\circ - \sin^215^\circ$. Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = 15^\circ$. Применим формулу: $\cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$. Значение косинуса для угла $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Упростим выражение $(\sin80^\circ + \sin10^\circ)(\cos80^\circ - \cos10^\circ)$. Для преобразования выражения используем формулы суммы синусов и разности косинусов (преобразование суммы/разности в произведение): $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ Применим эти формулы к каждому из множителей, где $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 10^\circ$. Для первого множителя: $\sin80^\circ + \sin10^\circ = 2\sin\frac{80^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{80^\circ-10^\circ}{2} = 2\sin(45^\circ)\cos(35^\circ)$. Для второго множителя: $\cos80^\circ - \cos10^\circ = -2\sin\frac{80^\circ+10^\circ}{2}\sin\frac{80^\circ-10^\circ}{2} = -2\sin(45^\circ)\sin(35^\circ)$. Теперь перемножим полученные выражения: $(2\sin45^\circ\cos35^\circ) \cdot (-2\sin45^\circ\sin35^\circ) = -4\sin^2(45^\circ)\sin(35^\circ)\cos(35^\circ)$. Мы знаем, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\sin^2(45^\circ) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение: $-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(35^\circ)\cos(35^\circ) = -2\sin(35^\circ)\cos(35^\circ)$. Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, где $\alpha = 35^\circ$. $-2\sin(35^\circ)\cos(35^\circ) = -\sin(2 \cdot 35^\circ) = -\sin(70^\circ)$.
Ответ: $-\sin(70^\circ)$.

660. Выразите $ \cos 2\alpha $ только через:

a) $ \sin \alpha $;

б) $ \cos \alpha $.

Для решения этой задачи используются формула косинуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество.

Основная формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

а) Чтобы выразить $\cos(2\alpha)$ только через $\sin\alpha$, необходимо в формуле косинуса двойного угла заменить $\cos^2\alpha$. Из основного тригонометрического тождества получаем: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

Подставим это выражение в формулу:

$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha$

Упростим выражение, сложив подобные члены:

$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$

Ответ: $1 - 2\sin^2\alpha$.

б) Чтобы выразить $\cos(2\alpha)$ только через $\cos\alpha$, необходимо в формуле косинуса двойного угла заменить $\sin^2\alpha$. Из основного тригонометрического тождества получаем: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

Подставим это выражение в формулу:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

Ответ: $2\cos^2\alpha - 1$.

661. Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то что больше:

а) $\cos 2\alpha$ или $2 \cos \alpha$;

б) $\sin 2\alpha$ или $2 \sin \alpha$?

а) $\cos 2\alpha$ или $2 \cos \alpha$

Для того чтобы сравнить два выражения, рассмотрим их разность: $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$.

Подставим эту формулу в нашу разность:

$2 \cos \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) = -2 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1$.

Чтобы определить знак этого выражения, введем замену $x = \cos \alpha$. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно, для косинуса в этом интервале выполняется неравенство $0 < \cos \alpha < 1$, то есть $0 < x < 1$.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = -2x^2 + 2x + 1$ на интервале $(0, 1)$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее корни, решив уравнение $-2x^2 + 2x + 1 = 0$ или $2x^2 - 2x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

Оценим значения корней: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} < 0$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} > 1$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция $f(x)$ принимает положительные значения между корнями. Наш интервал для $x$ - это $(0, 1)$, который полностью находится между корнями $x_1$ и $x_2$. Следовательно, на интервале $(0, 1)$ функция $f(x)$ положительна, то есть $f(x) > 0$.

Это означает, что $-2 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1 > 0$, и, таким образом, $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha > 0$. Отсюда следует, что $2 \cos \alpha > \cos 2\alpha$.

Ответ: $2 \cos \alpha > \cos 2\alpha$.

б) $\sin 2\alpha$ или $2 \sin \alpha$

Для сравнения этих двух выражений рассмотрим их разность: $2 \sin \alpha - \sin 2\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Подставим формулу в разность и преобразуем выражение:

$2 \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)$.

Теперь проанализируем знак полученного выражения при условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$):

1. $\sin \alpha > 0$. 2. $\cos \alpha < 1$, что означает $1 - \cos \alpha > 0$.

Произведение двух положительных множителей ($2 \sin \alpha$ и $1 - \cos \alpha$) также является положительным числом.

Следовательно, $2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha) > 0$, что равносильно $2 \sin \alpha - \sin 2\alpha > 0$. Отсюда получаем, что $2 \sin \alpha > \sin 2\alpha$.

Ответ: $2 \sin \alpha > \sin 2\alpha$.

662. Существуют ли углы $\alpha$, для которых выполняется равенство $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \left(0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}\right)?$

Для того чтобы определить, существуют ли такие углы α, решим уравнение $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha $ на промежутке $ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Подставим эту формулу в исходное равенство:

$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha $

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем общий множитель $ 2\sin\alpha $ за скобки:

$ 2\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin\alpha = 0 $

$ 2\sin\alpha(\cos\alpha - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $ \sin\alpha = 0 $

На заданном промежутке $ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $ это уравнение имеет единственное решение: $ \alpha = 0 $.

2. $ \cos\alpha - 1 = 0 $, что равносильно $ \cos\alpha = 1 $.

На заданном промежутке $ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $ это уравнение также имеет единственное решение: $ \alpha = 0 $.

Оба случая приводят к одному и тому же решению $ \alpha = 0 $, которое принадлежит заданному промежутку $ [0, \frac{\pi}{2}] $.

Поскольку мы нашли как минимум один угол, для которого равенство выполняется, ответ на вопрос — да.

Ответ: Да, существуют. Таким углом на указанном промежутке является $ \alpha = 0 $.

663. Вычислите:

а) $1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8}$;

б) $2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1$.

а) Для вычисления выражения $1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
В данном случае, угол $\alpha = \frac{\pi}{8}$.
Применяя формулу, получаем:
$1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)$.
Упростим выражение в аргументе косинуса:
$2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, нам нужно найти значение $\cos\frac{\pi}{4}$. Это табличное значение тригонометрической функции:
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Для вычисления выражения $2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1$ также воспользуемся формулой косинуса двойного угла, но в другой ее форме: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
В этом выражении угол $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
Подставим значение угла в формулу:
$2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1 = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right)$.
Упростим аргумент косинуса:
$2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.
Теперь вычислим значение $\cos\frac{\pi}{6}$. Это также является табличным значением:
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

664¹. Упростите выражение:

a) $ \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha; $

б) $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha; $

в) $ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2\alpha}; $

г) $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}; $

д) $ \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha}; $

е) $ \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}. $

¹Здесь и далее имеются в виду такие значения $\alpha$, при которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а) Для упрощения выражения $\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cos 2\alpha$.
Теперь снова применим формулу синуса двойного угла, но на этот раз для угла $2\alpha$. Формула для синуса угла $4\alpha$ выглядит так: $\sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$. Отсюда получаем, что $\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 4\alpha$.
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат:
$\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \sin 4\alpha\right) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha$.
Ответ: $\frac{1}{4} \sin 4\alpha$.

б) Выражение $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha$ можно рассматривать как разность квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = \cos^2 \alpha$ и $b = \sin^2 \alpha$.
$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.
Теперь воспользуемся двумя основными тригонометрическими формулами:
1. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
2. Формула косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Подставив эти формулы в наше выражение, получаем:
$(\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha$.
Ответ: $\cos 2\alpha$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2\alpha}$.
Сначала раскроем квадрат суммы в числителе по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$) и формулу синуса двойного угла ($\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$), мы можем упростить числитель до $1 + \sin 2\alpha$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{1 + \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} = 1$.
(Это верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $1 + \sin 2\alpha \neq 0$).
Ответ: $1$.

г) В выражении $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$ заменим числитель, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Получим дробь: $\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.
Заметим, что множитель в числителе $(\cos \alpha - \sin \alpha)$ и выражение в знаменателе $(\sin \alpha - \cos \alpha)$ отличаются только знаком: $\sin \alpha - \cos \alpha = -(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
Перепишем дробь: $\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{-(\cos \alpha - \sin \alpha)}$.
Сократим дробь на $(\cos \alpha - \sin \alpha)$:
$-(\cos \alpha + \sin \alpha)$.
Ответ: $-(\sin \alpha + \cos \alpha)$.

д) Для упрощения выражения $\frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha}$ приведем дроби к общему знаменателю, которым является $\sin \alpha \cos \alpha$:
$\frac{\sin 2\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Числитель этой дроби соответствует формуле синуса разности углов: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. В нашем случае $x=2\alpha$ и $y=\alpha$.
Таким образом, числитель упрощается до $\sin(2\alpha - \alpha) = \sin \alpha$.
Подставим это значение обратно в дробь:
$\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Сократив дробь на $\sin \alpha$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$), получим:
$\frac{1}{\cos \alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos \alpha}$.

е) Выражение $\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}$ является одной из формул для косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}$.
Следовательно, данное выражение равно $\cos 2\alpha$.
Этот результат можно также получить, выразив тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}$.
Так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, знаменатель дроби в знаменателе равен $\frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Получаем: $\frac{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{1} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Это является формулой косинуса двойного угла.
Ответ: $\cos 2\alpha$.