Номер 659, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

659. a) $\sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8}$;

б) $2 \sin 50^\circ \sin 40^\circ$;

в) $\cos^2 15^\circ - \cos^2 75^\circ$;

г) $(\sin 80^\circ + \sin 10^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ)$.

а) Вычислим значение выражения $\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8}$. Вынесем минус за скобки, чтобы привести выражение к виду формулы косинуса двойного угла: $\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} = -(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8})$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Получаем: $-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{2\pi}{8}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$. Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, итоговый результат: $-\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Упростим выражение $2 \sin50^\circ \sin40^\circ$. Для этого воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$. В нашем случае $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 40^\circ$. Подставим значения в формулу: $2 \sin50^\circ \sin40^\circ = \cos(50^\circ - 40^\circ) - \cos(50^\circ + 40^\circ) = \cos(10^\circ) - \cos(90^\circ)$. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, выражение упрощается до: $\cos(10^\circ) - 0 = \cos(10^\circ)$.
Ответ: $\cos(10^\circ)$.

в) Вычислим значение выражения $\cos^215^\circ - \cos^275^\circ$. Сначала используем формулу приведения для $\cos^275^\circ$. Так как $75^\circ = 90^\circ - 15^\circ$, то $\cos(75^\circ) = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin(15^\circ)$. Подставим это в исходное выражение: $\cos^215^\circ - \cos^275^\circ = \cos^215^\circ - (\sin15^\circ)^2 = \cos^215^\circ - \sin^215^\circ$. Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = 15^\circ$. Применим формулу: $\cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$. Значение косинуса для угла $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Упростим выражение $(\sin80^\circ + \sin10^\circ)(\cos80^\circ - \cos10^\circ)$. Для преобразования выражения используем формулы суммы синусов и разности косинусов (преобразование суммы/разности в произведение): $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ Применим эти формулы к каждому из множителей, где $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 10^\circ$. Для первого множителя: $\sin80^\circ + \sin10^\circ = 2\sin\frac{80^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{80^\circ-10^\circ}{2} = 2\sin(45^\circ)\cos(35^\circ)$. Для второго множителя: $\cos80^\circ - \cos10^\circ = -2\sin\frac{80^\circ+10^\circ}{2}\sin\frac{80^\circ-10^\circ}{2} = -2\sin(45^\circ)\sin(35^\circ)$. Теперь перемножим полученные выражения: $(2\sin45^\circ\cos35^\circ) \cdot (-2\sin45^\circ\sin35^\circ) = -4\sin^2(45^\circ)\sin(35^\circ)\cos(35^\circ)$. Мы знаем, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\sin^2(45^\circ) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение: $-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(35^\circ)\cos(35^\circ) = -2\sin(35^\circ)\cos(35^\circ)$. Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, где $\alpha = 35^\circ$. $-2\sin(35^\circ)\cos(35^\circ) = -\sin(2 \cdot 35^\circ) = -\sin(70^\circ)$.
Ответ: $-\sin(70^\circ)$.