Номер 652, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

652. Представьте в виде произведения:

а) $1 + 2 \sin \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} + \sin \alpha \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \right) = \dots$;

б) $1 - 2 \cos \alpha$;

в) $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha$.

а) Для того чтобы представить выражение $1 + 2 \sin \alpha$ в виде произведения, продолжим преобразования, предложенные в условии. Сначала выносим 2 за скобки, затем заменяем $\frac{1}{2}$ на значение синуса соответствующего угла:

$1 + 2 \sin \alpha = 2(\frac{1}{2} + \sin \alpha) = 2(\sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha)$

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$2(\sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha) = 2 \left( 2 \sin \frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2} \right) = 4 \sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2})$

Ответ: $4 \sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2})$

б) Чтобы представить выражение $1 - 2 \cos \alpha$ в виде произведения, вынесем 2 за скобки:

$1 - 2 \cos \alpha = 2(\frac{1}{2} - \cos \alpha)$

Заменим число $\frac{1}{2}$ на значение косинуса, а именно $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$:

$2(\cos \frac{\pi}{3} - \cos \alpha)$

Применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.

Здесь $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$2 \left( -2 \sin \frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2} \right) = -4 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$

Ответ: $-4 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$

в) Для представления выражения $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha$ в виде произведения, вынесем 2 за скобки:

$\sqrt{3} - 2 \sin \alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin \alpha)$

Заменим число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на значение синуса, а именно $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2(\sin \frac{\pi}{3} - \sin \alpha)$

Применим формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$2 \left( 2 \cos \frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2} \right) = 4 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$

Ответ: $4 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$