Номер 651, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

651. a) $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$;

б) $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

а) Докажем тождество $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta$

$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta$

Сложим полученные выражения:

$(\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 + 1 + 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Упростим выражение:

$2 + 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Применим формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$2 + 2 \cos(\alpha - \beta)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(1 + \cos(\alpha - \beta))$

Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса (или формулой половинного угла), которая следует из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, откуда $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$. Подставим $2x = \alpha - \beta$, тогда $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 \cdot \left(2 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$ доказано.

б) Докажем тождество $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin \alpha - \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta$

$(\cos \alpha - \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta$

Сложим полученные выражения:

$(\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta - 2 \cos \alpha \cos \beta$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 + 1 - 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Упростим выражение:

$2 - 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Применим формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$2 - 2 \cos(\alpha - \beta)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(1 - \cos(\alpha - \beta))$

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса (или формулой половинного угла), которая следует из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$, откуда $1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$. Подставим $2x = \alpha - \beta$, тогда $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 \cdot \left(2 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$ доказано.