Номер 654, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

654. Чему равен квадрат:

а) синуса половинного угла;

б) косинуса половинного угла?

а) синуса половинного угла;

Чтобы найти формулу для квадрата синуса половинного угла, то есть для выражения $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, мы используем одну из формул косинуса двойного угла. Формула, связывающая косинус двойного угла с синусом, выглядит так:

$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$

Сделаем замену переменной, чтобы получить половинный угол. Пусть $x = \frac{\alpha}{2}$. Тогда $2x = \alpha$. Подставим эти значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь из этого уравнения нужно выразить $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Перенесем слагаемые:

$2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \cos(\alpha)$

Разделив обе части уравнения на 2, получим искомую формулу:

$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$

Эта формула также известна как формула понижения степени для синуса.

Ответ: $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$

б) косинуса половинного угла?

Для нахождения квадрата косинуса половинного угла, то есть для выражения $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, мы также воспользуемся формулой косинуса двойного угла. На этот раз используем формулу, связывающую его с косинусом:

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену $x = \frac{\alpha}{2}$, из которой следует, что $2x = \alpha$. Подставим в формулу:

$\cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$

Теперь выразим из этого уравнения $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Для этого сначала перенесем -1 в левую часть:

$1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Разделив обе части уравнения на 2, получим окончательную формулу:

$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$

Эта формула также известна как формула понижения степени для косинуса.

Ответ: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$