Номер 661, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

661. Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то что больше:

а) $\cos 2\alpha$ или $2 \cos \alpha$;

б) $\sin 2\alpha$ или $2 \sin \alpha$?

а) $\cos 2\alpha$ или $2 \cos \alpha$

Для того чтобы сравнить два выражения, рассмотрим их разность: $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$.

Подставим эту формулу в нашу разность:

$2 \cos \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) = -2 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1$.

Чтобы определить знак этого выражения, введем замену $x = \cos \alpha$. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно, для косинуса в этом интервале выполняется неравенство $0 < \cos \alpha < 1$, то есть $0 < x < 1$.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = -2x^2 + 2x + 1$ на интервале $(0, 1)$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее корни, решив уравнение $-2x^2 + 2x + 1 = 0$ или $2x^2 - 2x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

Оценим значения корней: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} < 0$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} > 1$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция $f(x)$ принимает положительные значения между корнями. Наш интервал для $x$ - это $(0, 1)$, который полностью находится между корнями $x_1$ и $x_2$. Следовательно, на интервале $(0, 1)$ функция $f(x)$ положительна, то есть $f(x) > 0$.

Это означает, что $-2 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1 > 0$, и, таким образом, $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha > 0$. Отсюда следует, что $2 \cos \alpha > \cos 2\alpha$.

Ответ: $2 \cos \alpha > \cos 2\alpha$.

б) $\sin 2\alpha$ или $2 \sin \alpha$

Для сравнения этих двух выражений рассмотрим их разность: $2 \sin \alpha - \sin 2\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Подставим формулу в разность и преобразуем выражение:

$2 \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)$.

Теперь проанализируем знак полученного выражения при условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$):

1. $\sin \alpha > 0$. 2. $\cos \alpha < 1$, что означает $1 - \cos \alpha > 0$.

Произведение двух положительных множителей ($2 \sin \alpha$ и $1 - \cos \alpha$) также является положительным числом.

Следовательно, $2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha) > 0$, что равносильно $2 \sin \alpha - \sin 2\alpha > 0$. Отсюда получаем, что $2 \sin \alpha > \sin 2\alpha$.

Ответ: $2 \sin \alpha > \sin 2\alpha$.