Номер 665, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

665. a) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{tg} \alpha}{\cos 2 \alpha}$;

б) $\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha+1}{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}$;

в) $\operatorname{tg} \alpha(1+\cos 2 \alpha)$;

г) $(1-\cos 2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha$;

д) $2 \cos ^{2} \alpha-\cos 2 \alpha$;

е) $\cos 2 \alpha+2 \sin ^{2} \alpha$.

а)

Упростим выражение $ \frac{\ctg\alpha - \tg\alpha}{\cos2\alpha} $.

Сначала преобразуем числитель. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус:

$ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

Тогда числитель равен:

$ \ctg\alpha - \tg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Используем формулу двойного угла для косинуса: $ \cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Подставляем эту формулу в числитель дроби в числителе:

$ \ctg\alpha - \tg\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$ \frac{\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}{\cos2\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} \cdot \frac{1}{\cos2\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, можем переписать знаменатель:

$ \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2}{\sin2\alpha} $.

Ответ: $ \frac{2}{\sin2\alpha} $.

б)

Упростим выражение $ \frac{\ctg^2\alpha + 1}{\ctg^2\alpha - 1} $.

Используем основное тригонометрическое тождество, связанное с котангенсом: $ 1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

Таким образом, числитель дроби равен $ \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

Преобразуем знаменатель, выразив котангенс через синус и косинус:

$ \ctg^2\alpha - 1 = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} $.

Зная, что $ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha $, получаем:

$ \ctg^2\alpha - 1 = \frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha} $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{\frac{1}{\sin^2\alpha}}{\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{1}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{1}{\cos2\alpha} $.

Ответ: $ \frac{1}{\cos2\alpha} $.

в)

Упростим выражение $ \tg\alpha(1 + \cos2\alpha) $.

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Отсюда $ 1 + \cos2\alpha = 1 + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \tg\alpha \cdot (2\cos^2\alpha) $.

Теперь выразим тангенс через синус и косинус: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot 2\cos^2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Это формула синуса двойного угла: $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha $.

Ответ: $ \sin2\alpha $.

г)

Упростим выражение $ (1 - \cos2\alpha)\ctg\alpha $.

Воспользуемся другой формулой двойного угла для косинуса: $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $.

Отсюда $ 1 - \cos2\alpha = 1 - (1 - 2\sin^2\alpha) = 2\sin^2\alpha $.

Подставим это в исходное выражение:

$ (2\sin^2\alpha) \cdot \ctg\alpha $.

Теперь выразим котангенс через синус и косинус: $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

$ 2\sin^2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Это формула синуса двойного угла: $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha $.

Ответ: $ \sin2\alpha $.

д)

Упростим выражение $ 2\cos^2\alpha - \cos2\alpha $.

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Подставим ее в выражение:

$ 2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

е)

Упростим выражение $ \cos2\alpha + 2\sin^2\alpha $.

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $.

Подставим ее в выражение:

$ (1 - 2\sin^2\alpha) + 2\sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha + 2\sin^2\alpha = 1 $.

Ответ: $ 1 $.