Номер 668, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

668. Найдите $tg(\alpha + \beta)$ и $tg(\alpha - \beta)$, если $tg \alpha = \frac{3}{5}$, $tg \beta = \frac{2}{5}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы тангенса суммы и разности двух углов. Из условия задачи нам известны следующие значения: $\text{tg}\alpha = \frac{3}{5}$ и $\text{tg}\beta = \frac{2}{5}$.

tg(α + β)

Формула для тангенса суммы двух углов α и β имеет вид:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим в эту формулу заданные значения $\text{tg}\alpha$ и $\text{tg}\beta$:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{3}{5} + \frac{2}{5}}{1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}}$

Далее выполним вычисления по шагам. Сначала упростим числитель дроби:
$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3+2}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
Теперь упростим знаменатель дроби:
$1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = 1 - \frac{6}{25} = \frac{25}{25} - \frac{6}{25} = \frac{19}{25}$.

Теперь, когда мы нашли значения числителя и знаменателя, мы можем найти итоговое значение тангенса суммы:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{1}{\frac{19}{25}} = 1 \cdot \frac{25}{19} = \frac{25}{19}$.

Ответ: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{25}{19}$.

tg(α - β)

Формула для тангенса разности двух углов α и β имеет вид:
$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим в эту формулу заданные значения $\text{tg}\alpha$ и $\text{tg}\beta$:
$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{3}{5} - \frac{2}{5}}{1 + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}}$

Снова выполним вычисления по шагам. Упростим числитель:
$\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3-2}{5} = \frac{1}{5}$.
Теперь упростим знаменатель:
$1 + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = 1 + \frac{6}{25} = \frac{25}{25} + \frac{6}{25} = \frac{31}{25}$.

Наконец, разделим полученный числитель на знаменатель:
$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{31}{25}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{31} = \frac{25}{5 \cdot 31} = \frac{5}{31}$.

Ответ: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{5}{31}$.