Номер 669, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

669. Вычислите:

а) $\frac{\operatorname{tg} 39^{\circ}+\operatorname{tg} 6^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 39^{\circ} \operatorname{tg} 6^{\circ}} ; $

б) $\frac{\operatorname{tg} 72^{\circ}-\operatorname{tg} 12^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 72^{\circ} \operatorname{tg} 12^{\circ}} ; $

в) $\operatorname{tg} 75^{\circ} ; $

г) $\operatorname{tg} 15^{\circ} ; $

д) $\operatorname{tg} 105^{\circ} . $

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.
В нашем случае $\alpha = 39^\circ$ и $\beta = 6^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\frac{\text{tg}39^\circ + \text{tg}6^\circ}{1 - \text{tg}39^\circ \text{tg}6^\circ} = \text{tg}(39^\circ + 6^\circ) = \text{tg}45^\circ$.
Значение тангенса $45^\circ$ равно 1.
Ответ: $1$.

б) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.
В данном случае $\alpha = 72^\circ$ и $\beta = 12^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\frac{\text{tg}72^\circ - \text{tg}12^\circ}{1 + \text{tg}72^\circ \text{tg}12^\circ} = \text{tg}(72^\circ - 12^\circ) = \text{tg}60^\circ$.
Значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Чтобы вычислить $\text{tg}75^\circ$, представим $75^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Применим формулу тангенса суммы: $\text{tg}75^\circ = \text{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\text{tg}45^\circ + \text{tg}30^\circ}{1 - \text{tg}45^\circ \text{tg}30^\circ}$.
Мы знаем, что $\text{tg}45^\circ = 1$ и $\text{tg}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставляем эти значения в формулу:
$\text{tg}75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 + \sqrt{3})$:
$\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

г) Чтобы вычислить $\text{tg}15^\circ$, представим $15^\circ$ в виде разности двух стандартных углов: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Применим формулу тангенса разности: $\text{tg}15^\circ = \text{tg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{tg}45^\circ - \text{tg}30^\circ}{1 + \text{tg}45^\circ \text{tg}30^\circ}$.
Используя значения $\text{tg}45^\circ = 1$ и $\text{tg}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:
$\text{tg}15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{3})$:
$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

д) Чтобы вычислить $\text{tg}105^\circ$, представим $105^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Применим формулу тангенса суммы: $\text{tg}105^\circ = \text{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\text{tg}60^\circ + \text{tg}45^\circ}{1 - \text{tg}60^\circ \text{tg}45^\circ}$.
Мы знаем, что $\text{tg}60^\circ = \sqrt{3}$ и $\text{tg}45^\circ = 1$.
Подставляем эти значения:
$\text{tg}105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $(1 + \sqrt{3})$:
$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3})$.
Также можно использовать формулу приведения: $\text{tg}105^\circ = \text{tg}(180^\circ - 75^\circ) = -\text{tg}75^\circ$. Из пункта в) мы знаем, что $\text{tg}75^\circ = 2 + \sqrt{3}$, следовательно $\text{tg}105^\circ = -(2 + \sqrt{3})$.
Ответ: $-(2 + \sqrt{3})$.