Номер 666, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем. Докажите справедливость равенства (666–667):

666. а) $2 \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin \alpha = \sin 2\alpha;$

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha;$

в) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha;$

г) $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha;$

а)

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$.

$2 \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin \alpha = 2 \cos \alpha \sin \alpha$

Далее, по формуле синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, мы видим, что полученное выражение равно $\sin 2\alpha$.

$2 \cos \alpha \sin \alpha = \sin 2\alpha$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Преобразуем левую часть равенства, представив её как разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, упростим выражение:

$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(1) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$

Вынесем знак минус за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

$-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, получаем:

$1 + \sin 2\alpha$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

г)

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, получаем:

$1 - \sin 2\alpha$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.