Номер 667, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

667. a) $ \operatorname{tg} (\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $;

б) $ \operatorname{tg} (\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $;

в) $ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $.

а)

Для доказательства формулы тангенса суммы воспользуемся определением тангенса: $tg(\alpha + \beta) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta)}$.

Применим формулы синуса и косинуса суммы двух углов:

$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

Подставим эти выражения в формулу для тангенса:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta}$

Для того чтобы перейти к тангенсам, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $cos\alpha \cdot cos\beta$, предполагая, что $cos\alpha \neq 0$ и $cos\beta \neq 0$ (т.е. тангенсы $\alpha$ и $\beta$ существуют), а также $cos(\alpha + \beta) \neq 0$:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{sin\alpha \cdot cos\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta} + \frac{cos\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta}}{\frac{cos\alpha \cdot cos\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta} - \frac{sin\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta}}$

Упростим полученное выражение, используя определение $tg x = \frac{sin x}{cos x}$:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{sin\beta}{cos\beta}}{1 - \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{sin\beta}{cos\beta}} = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$

б)

Для доказательства формулы тангенса разности воспользуемся определением тангенса: $tg(\alpha - \beta) = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos(\alpha - \beta)}$.

Применим формулы синуса и косинуса разности двух углов:

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

Подставим эти выражения в формулу для тангенса:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta}$

Разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $cos\alpha \cdot cos\beta$, предполагая, что $cos\alpha \neq 0$ и $cos\beta \neq 0$, а также $cos(\alpha - \beta) \neq 0$:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{sin\alpha \cdot cos\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta} - \frac{cos\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta}}{\frac{cos\alpha \cdot cos\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta} + \frac{sin\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta}}$

Упростим полученное выражение:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} - \frac{sin\beta}{cos\beta}}{1 + \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{sin\beta}{cos\beta}} = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

в)

Формулу тангенса двойного угла можно вывести из формулы тангенса суммы, доказанной в пункте а).

Исходная формула тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$.

Представим двойной угол $2\alpha$ как сумму $\alpha + \alpha$. Тогда $tg(2\alpha) = tg(\alpha + \alpha)$.

Подставим в формулу тангенса суммы $\beta = \alpha$:

$tg(\alpha + \alpha) = \frac{tg\alpha + tg\alpha}{1 - tg\alpha \cdot tg\alpha}$

Упрощая выражение, получаем:

$tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$