Номер 674, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

674. a) Вычислите $ \sin \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

б) Вычислите $ \cos \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = - \frac{1}{3} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

а)

Для вычисления $sin\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулой понижения степени (или формулой половинного угла):

$sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2}$

Отсюда следует, что $sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - cos\alpha}{2}}$. Знак перед корнем зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Чтобы найти, в каком интервале находится угол $\frac{\alpha}{2}$, разделим все части неравенства на 2:

$\frac{0}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi/2}{2}$, что дает $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$.

Этот интервал соответствует первой координатной четверти, в которой значения синуса положительны. Следовательно, мы выбираем знак «+».

Теперь подставим в формулу известное значение $cos\alpha = \frac{1}{3}$:

$sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{3-1}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

б)

Для вычисления $cos\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулой половинного угла для косинуса:

$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2}$

В этой задаче нам дан $sin\alpha$, а для формулы требуется $cos\alpha$. Найдем $cos\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

Подставим значение $sin\alpha = -\frac{1}{3}$:

$cos^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

По условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение, поэтому $cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь определим знак для $cos\frac{\alpha}{2}$. Для этого найдем интервал для угла $\frac{\alpha}{2}$, разделив неравенство $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ на 2:

$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$

Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Значит, в формуле для $cos\frac{\alpha}{2}$ мы выберем знак «-»:

$cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}}$

Подставим найденное значение $cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$:

$cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{2\sqrt{2}}{3})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}}{2}} = -\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}$

Ответ: $-\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}$