Номер 675, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

675. Упростите выражение:

а) $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha;$

б) $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha;$

в) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha};$

г) $\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha}.$

а) $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha$

Для упрощения данного выражения воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Если принять $x = \frac{\alpha}{2}$, то $2x = \alpha$. Тогда формула примет вид: $\cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$.

Из этой формулы можно выразить $2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$, что является первым слагаемым в исходном выражении: $2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(1 - \cos \alpha) + \cos \alpha = 1 - \cos \alpha + \cos \alpha = 1$.

Ответ: $1$

б) $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha$

Для этого выражения используем другую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.

Снова пусть $x = \frac{\alpha}{2}$, тогда $2x = \alpha$. Формула запишется как: $\cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$.

Из этой формулы выразим $2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$: $2\cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 + \cos \alpha$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$(1 + \cos \alpha) - \cos \alpha = 1 + \cos \alpha - \cos \alpha = 1$.

Ответ: $1$

в) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Для упрощения этого выражения применим несколько тригонометрических тождеств. Сначала упростим первую дробь, используя формулы двойного угла:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$

Подставим их в первую дробь:

$\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\tan \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.

Далее, применим формулы двойного угла для аргумента $\frac{\alpha}{2}$ (их также называют формулами половинного угла):

$\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

$1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в полученную дробь:

$\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\tan \frac{\alpha}{2}$

г) $\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha}$

В числителе и знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$\frac{2 \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}$

Вынесем общий множитель $2 \sin \alpha$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{2 \sin \alpha (1 + \cos \alpha)}$

Сократим дробь на $2 \sin \alpha$ (при условии, что $2 \sin \alpha \neq 0$):

$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Теперь воспользуемся формулами, связывающими косинус целого угла с синусом и косинусом половинного угла (формулы понижения степени):

$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$

$1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \left(\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\right)^2 = \tan^2 \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\tan^2 \frac{\alpha}{2}$