Номер 678, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем. Докажите справедливость равенства (678—679):

678. a) $\frac{\operatorname{tg}(90^\circ + \alpha) \cos(270^\circ + \alpha) \cos(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) \sin(270^\circ + \alpha)} = -\sin \alpha;$

б) $\frac{\cos^2 \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\operatorname{tg}^2(\alpha - 2\pi)} + \frac{\cos^2(-\alpha)}{\operatorname{tg}^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)} = 1.$

а)

Требуется доказать тождество: $ \frac{\text{tg}(90^\circ + \alpha) \cos(270^\circ + \alpha) \cos(-\alpha)}{\text{ctg}(180^\circ - \alpha) \sin(270^\circ + \alpha)} = -\sin \alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности тригонометрических функций.

1. Упростим каждый тригонометрический член в выражении:

• $ \text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (угол находится во II четверти, где тангенс отрицателен; так как опорный угол $90^\circ$, функция меняется на кофункцию).
• $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол находится в IV четверти, где косинус положителен; так как опорный угол $270^\circ$, функция меняется на кофункцию).
• $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (косинус является четной функцией).
• $ \text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (угол находится во II четверти, где котангенс отрицателен; так как опорный угол $180^\circ$, функция не меняется).
• $ \sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол находится в IV четверти, где синус отрицателен; так как опорный угол $270^\circ$, функция меняется на кофункцию).

2. Подставим упрощенные выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{(-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (\sin(\alpha)) \cdot (\cos(\alpha))}{(-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha))} $

3. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($-\text{ctg}(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$):

$ \frac{\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{-1} = -\sin(\alpha) $

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна $ -\sin(\alpha) $, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Требуется доказать тождество: $ \frac{\cos^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 2\pi)} + \frac{\cos^2(-\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - \frac{3\pi}{2})} = 1 $.

Преобразуем левую часть равенства, упрощая каждое слагаемое по отдельности.

1. Рассмотрим первое слагаемое $ \frac{\cos^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 2\pi)} $:

• Числитель: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $. Следовательно, $ \cos^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin^2(\alpha) $.
• Знаменатель: тангенс имеет период $ \pi $, поэтому $ \text{tg}(\alpha - 2\pi) = \text{tg}(\alpha) $. Следовательно, $ \text{tg}^2(\alpha - 2\pi) = \text{tg}^2(\alpha) $.
• Подставив $ \text{tg}^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $, получим для первого слагаемого: $ \frac{\sin^2(\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}} = \sin^2(\alpha) \cdot \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \cos^2(\alpha) $.

2. Рассмотрим второе слагаемое $ \frac{\cos^2(-\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - \frac{3\pi}{2})} $:

• Числитель: косинус — четная функция, поэтому $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Следовательно, $ \cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha) $.
• Знаменатель: $ \text{tg}(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. По формуле приведения $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. Значит, $ \text{tg}(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\text{ctg}(\alpha) $. Тогда $ \text{tg}^2(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = (-\text{ctg}(\alpha))^2 = \text{ctg}^2(\alpha) $.
• Подставив $ \text{ctg}^2(\alpha) = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} $, получим для второго слагаемого: $ \frac{\cos^2(\alpha)}{\text{ctg}^2(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}} = \cos^2(\alpha) \cdot \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \sin^2(\alpha) $.

3. Сложим полученные результаты:

Левая часть = (первое слагаемое) + (второе слагаемое) = $ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.

Таким образом, левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: тождество доказано.