Номер 658, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (658—659):

658. a) $cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ;$

б) $sin^2 15^\circ - cos^2 15^\circ;$

в) $cos^2 20^\circ - sin^2 20^\circ;$

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha).$

а) Для упрощения выражения $cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

В данном случае, угол $\alpha = 15^\circ$. Подставив это значение в формулу, получаем:

$cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ = cos(2 \cdot 15^\circ) = cos(30^\circ)$

Значение косинуса $30^\circ$ является табличной величиной:

$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Выражение $sin^2 15^\circ - cos^2 15^\circ$ очень похоже на предыдущее. Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести его к стандартному виду формулы косинуса двойного угла:

$sin^2 15^\circ - cos^2 15^\circ = -(cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ)$

Теперь выражение в скобках соответствует формуле $cos(2\alpha)$ при $\alpha = 15^\circ$.

$-(cos^2 15^\circ - sin^2 15^\circ) = -cos(2 \cdot 15^\circ) = -cos(30^\circ)$

Так как $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то результат равен:

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Для упрощения выражения $cos^2 20^\circ - sin^2 20^\circ$ снова применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Здесь угол $\alpha = 20^\circ$.

$cos^2 20^\circ - sin^2 20^\circ = cos(2 \cdot 20^\circ) = cos(40^\circ)$

Так как $40^\circ$ не является углом, для которого значение косинуса выражается через простые радикалы, $cos(40^\circ)$ является конечной упрощенной формой.

Ответ: $cos(40^\circ)$

г) В выражении $(sin\,\alpha + cos\,\alpha)(cos\,\alpha - sin\,\alpha)$ можно узнать формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Для удобства поменяем местами слагаемые в первой скобке (от этого сумма не изменится): $(cos\,\alpha + sin\,\alpha)(cos\,\alpha - sin\,\alpha)$.

Теперь видно, что $a = cos\,\alpha$ и $b = sin\,\alpha$. Применяем формулу:

$(cos\,\alpha)^2 - (sin\,\alpha)^2 = cos^2\alpha - sin^2\alpha$

Это выражение, в свою очередь, является формулой косинуса двойного угла:

$cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos(2\alpha)$

Ответ: $cos(2\alpha)$