Номер 653, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

653. Запишите формулу:

а) синуса двойного угла;

б) косинуса двойного угла.

а) синуса двойного угла

Формула синуса двойного угла выражает синус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Она является частным случаем формулы синуса суммы двух углов, которая выглядит так:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Для того чтобы получить формулу для синуса двойного угла, необходимо в формуле суммы положить, что второй угол $\beta$ равен первому углу $\alpha$:

$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha \cos\alpha + \cos\alpha \sin\alpha$

После приведения подобных слагаемых, получаем искомую формулу:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$

Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

б) косинуса двойного угла

Формула косинуса двойного угла выражает косинус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Аналогично синусу двойного угла, эта формула выводится из формулы косинуса суммы двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Положим в этой формуле $\beta = \alpha$:

$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha \cos\alpha - \sin\alpha \sin\alpha$

Таким образом, основная формула для косинуса двойного угла имеет вид:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Эту формулу можно представить в двух других видах, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

1. Заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

2. Заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$

Все три формы записи являются правильными и используются в зависимости от условий задачи.

Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, или $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, или $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.