Номер 647, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

647¹. Упростите выражение:

а) $ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)} $

б) $ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} $

а)

Исходное выражение: $$ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) + \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})} $$

Для упрощения числителя и знаменателя воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение: $$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$

Преобразуем числитель. Пусть $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Тогда: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2}\right) = $$ $$ = 2 \sin\left(\frac{\frac{2\pi}{4}}{2}\right) \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha) = \sqrt{2}\cos(\alpha) $$

Преобразуем знаменатель. Пусть $x = \alpha + \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{4}$. Тогда: $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \frac{\pi}{4} + \alpha - \frac{\pi}{4}}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \frac{\pi}{4} - (\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}\right) = $$ $$ = 2 \sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{4}}{2}\right) = 2 \sin(\alpha) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\sin(\alpha) $$

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ \frac{\sqrt{2}\cos(\alpha)}{\sqrt{2}\sin(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot(\alpha) $$

Ответ: $\cot(\alpha)$.

б)

Исходное выражение: $$ \frac{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)} $$

Воспользуемся свойством четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$, чтобы привести аргументы к единому виду: $\cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \cos(-(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$. Также учтем, что $\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Тогда выражение примет вид: $$ \frac{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)} $$

Для упрощения числителя воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$ Преобразуем числитель. Пусть $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2}\right) = $$ $$ = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha) = \sqrt{2}\cos(\alpha) $$

Для упрощения знаменателя воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение: $$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $$ Преобразуем знаменатель. Пусть $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = -2 \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2}\right) = $$ $$ = -2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(\alpha) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha) = -\sqrt{2}\sin(\alpha) $$

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ \frac{\sqrt{2}\cos(\alpha)}{-\sqrt{2}\sin(\alpha)} = -\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\cot(\alpha) $$

Ответ: $-\cot(\alpha)$.