Номер 640, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

640. a) $cos \frac{\pi}{5} - cos \frac{\pi}{4};$

б) $sin \frac{\pi}{14} + sin \frac{\pi}{3};$

в) $sin \frac{\pi}{3} - sin \frac{\pi}{4};$

г) $cos \frac{\pi}{10} + cos \frac{\pi}{5}.$

а) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $cos \alpha - cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим эту формулу для выражения $cos\frac{\pi}{5} - cos\frac{\pi}{4}$, где $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Сначала вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi+5\pi}{20}}{2} = \frac{9\pi}{40}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi-5\pi}{20}}{2} = \frac{-\pi}{20} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{40}$.
Теперь подставим эти значения в формулу:
$cos\frac{\pi}{5} - cos\frac{\pi}{4} = -2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin(-\frac{\pi}{40})$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:
$-2 \sin\frac{9\pi}{40} (-\sin\frac{\pi}{40}) = 2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin\frac{\pi}{40}$.
Ответ: $2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin\frac{\pi}{40}$.

б) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим эту формулу для выражения $\sin\frac{\pi}{14} + \sin\frac{\pi}{3}$, где $\alpha = \frac{\pi}{14}$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$.
Вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{14} + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{3\pi+14\pi}{42}}{2} = \frac{17\pi}{84}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{14} - \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{3\pi-14\pi}{42}}{2} = \frac{-11\pi}{42} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{11\pi}{84}$.
Подставим значения в формулу:
$\sin\frac{\pi}{14} + \sin\frac{\pi}{3} = 2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos(-\frac{11\pi}{84})$.
Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:
$2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos\frac{11\pi}{84}$.
Ответ: $2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos\frac{11\pi}{84}$.

в) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Применим эту формулу для выражения $\sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}$, где $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Вычислим полуразность и полусумму углов:
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi-3\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{24}$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi+3\pi}{12}}{2} = \frac{7\pi}{24}$.
Подставим значения в формулу:
$\sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4} = 2 \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{7\pi}{24}$.
Ответ: $2 \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{7\pi}{24}$.

г) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим эту формулу для выражения $cos\frac{\pi}{10} + cos\frac{\pi}{5}$, где $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{5}}{2} = \frac{\frac{\pi+2\pi}{10}}{2} = \frac{3\pi}{20}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{5}}{2} = \frac{\frac{\pi-2\pi}{10}}{2} = \frac{-\pi}{10} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{20}$.
Подставим значения в формулу:
$cos\frac{\pi}{10} + cos\frac{\pi}{5} = 2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos(-\frac{\pi}{20})$.
Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:
$2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{20}$.
Ответ: $2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{20}$.