Номер 634, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (634–635):

634. а) $\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right);$

б) $2\cos \left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\sin \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right).$

а) $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) $

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и формулами преобразования разности синусов в произведение. Сначала преобразуем косинус в синус, используя формулу $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $.

Применим эту формулу к $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) $: $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $

Далее используем формулу разности синусов: $ \sin A - \sin B = 2\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $. В нашем случае $ A = \alpha + \frac{\pi}{4} $ и $ B = \frac{\pi}{4} - \alpha $.

Найдем аргументы для синуса и косинуса в формуле:

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{4}) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \alpha}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{4}) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $

Подставляем найденные значения в формулу преобразования:

$ 2\sin(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\sin\alpha $

Ответ: $ \sqrt{2}\sin\alpha $

б) $ 2\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) - 2\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) $

Для упрощения вынесем общий множитель 2 за скобки и преобразуем синус в косинус по формуле приведения $ \sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $.

$ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi-2\pi}{6} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) $.

Поскольку косинус – четная функция, $ \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \cos(-(\alpha - \frac{\pi}{6})) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

Подставим это в исходное выражение:

$ 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\right) $

Теперь применим формулу разности косинусов: $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $. В нашем случае $ A = \alpha - \frac{\pi}{3} $ и $ B = \alpha - \frac{\pi}{6} $.

Найдем аргументы для синусов:

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\alpha - \frac{\pi}{3}) + (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{2\alpha - \frac{3\pi}{6}}{2} = \frac{2\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = \alpha - \frac{\pi}{4} $

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\alpha - \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{6}}{2} = -\frac{\pi}{12} $

Подставляем в выражение:

$ 2 \cdot \left(-2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) $

Так как синус – нечетная функция, $ \sin(-\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{12}) $. Получаем:

$ 2 \cdot \left(-2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\left(-\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)\right) = 4\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) $

Найдем значение $ \sin(\frac{\pi}{12}) $: $ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

Подставим это значение в наше выражение:

$ 4\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = (\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $

Ответ: $ (\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) $