Номер 639, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Представьте в виде произведения (639—642):

639. а) $\sin 20^\circ + \sin 10^\circ$;

б) $\sin 60^\circ - \sin 30^\circ$;

в) $\cos 70^\circ + \cos 20^\circ$;

г) $\cos 80^\circ - \cos 30^\circ$.

а) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
Применим эту формулу для выражения $\sin 20^\circ + \sin 10^\circ$, где $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 10^\circ$:
$\sin 20^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin\left(\frac{20^\circ + 10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ - 10^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ}{2}\right) = 2 \sin 15^\circ \cos 5^\circ$
Ответ: $2 \sin 15^\circ \cos 5^\circ$

б) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула разности синусов:
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$
Применим эту формулу для выражения $\sin 60^\circ - \sin 30^\circ$, где $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\sin 60^\circ - \sin 30^\circ = 2 \sin\left(\frac{60^\circ - 30^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{60^\circ + 30^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) = 2 \sin 15^\circ \cos 45^\circ$
Ответ: $2 \sin 15^\circ \cos 45^\circ$

в) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов:
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
Применим эту формулу для выражения $\cos 70^\circ + \cos 20^\circ$, где $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 20^\circ$:
$\cos 70^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos\left(\frac{70^\circ + 20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{70^\circ - 20^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{50^\circ}{2}\right) = 2 \cos 45^\circ \cos 25^\circ$
Ответ: $2 \cos 45^\circ \cos 25^\circ$

г) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов:
$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
Применим эту формулу для выражения $\cos 80^\circ - \cos 30^\circ$, где $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\cos 80^\circ - \cos 30^\circ = -2 \sin\left(\frac{80^\circ + 30^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{80^\circ - 30^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{110^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{50^\circ}{2}\right) = -2 \sin 55^\circ \sin 25^\circ$
Ответ: $-2 \sin 55^\circ \sin 25^\circ$