Номер 632, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (632—633):

632. a) $ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $;

б) $ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{5} \sin \frac{4\pi}{5} $;

в) $ \cos 80^\circ \sin 10^\circ + \sin 80^\circ \cos 10^\circ $;

г) $ \cos \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} \sin \frac{3\pi}{8} $.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$. В данном случае $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.
Подставив значения в формулу, получаем:
$\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$. Здесь $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{4\pi}{5}$.
Выполняем сложение углов:
$\sin\frac{\pi}{5} \cos\frac{4\pi}{5} + \cos\frac{\pi}{5} \sin\frac{4\pi}{5} = \sin(\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5}) = \sin(\frac{5\pi}{5}) = \sin(\pi)$.
Значение $\sin(\pi)$ равно 0.
Ответ: 0.

в) Выражение имеет вид $\cos 80^\circ \sin 10^\circ + \sin 80^\circ \cos 10^\circ$. Поменяв слагаемые местами (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), получим $\sin 80^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \sin 10^\circ$. Это соответствует формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta)$ при $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.
Вычисляем сумму:
$\sin(80^\circ + 10^\circ) = \sin(90^\circ)$.
Значение $\sin(90^\circ)$ равно 1.
Ответ: 1.

г) Данное выражение $\cos\frac{3\pi}{8} \sin\frac{\pi}{8} + \cos\frac{\pi}{8} \sin\frac{3\pi}{8}$ также соответствует формуле синуса суммы. Для наглядности можно переставить члены: $\sin\frac{3\pi}{8} \cos\frac{\pi}{8} + \cos\frac{3\pi}{8} \sin\frac{\pi}{8}$. Здесь $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.
Применяем формулу:
$\sin(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{2})$.
Значение $\sin(\frac{\pi}{2})$ равно 1.
Ответ: 1.