Страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

629. Запишите формулу:

а) синуса суммы двух углов;

б) синуса разности двух углов;

в) косинуса суммы двух углов;

г) косинуса разности двух углов.

а) синуса суммы двух углов;

Формула синуса суммы двух углов, которые мы обозначим как $\alpha$ и $\beta$, позволяет выразить синус составного угла $(\alpha + \beta)$ через тригонометрические функции исходных углов $\alpha$ и $\beta$. Согласно этой формуле, синус суммы двух углов равен сумме произведения синуса первого угла на косинус второго и произведения косинуса первого угла на синус второго.

Ответ: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

б) синуса разности двух углов;

Формула синуса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$ аналогична формуле синуса суммы, но отличается знаком. Синус разности двух углов равен разности произведения синуса первого угла на косинус второго и произведения косинуса первого угла на синус второго. Эту формулу можно получить из предыдущей, представив разность $\alpha - \beta$ как сумму $\alpha + (-\beta)$ и учтя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-\beta) = -\sin\beta$ и $\cos(-\beta) = \cos\beta$.

Ответ: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

в) косинуса суммы двух углов;

Формула косинуса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$ имеет другую структуру по сравнению с формулами для синуса. Косинус суммы двух углов равен разности между произведением косинусов этих углов и произведением их синусов. Важно обратить внимание на то, что сумме углов в левой части соответствует знак «минус» в правой части формулы.

Ответ: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

г) косинуса разности двух углов.

Формула косинуса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$ также следует из формулы косинуса суммы путем замены $\beta$ на $-\beta$. Учитывая, что $\cos(-\beta) = \cos\beta$ и $\sin(-\beta) = -\sin\beta$, получаем, что косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения их синусов. Здесь, в отличие от косинуса суммы, разности углов в левой части соответствует знак «плюс» в правой.

Ответ: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Доказываем. Докажите справедливость равенства (630–631):

630. a) $\sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha;$

б) $\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha;$

в) $\sin \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos \alpha;$

г) $\sin \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos \alpha.$

а)

Для доказательства справедливости равенства $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$

В нашем случае $x = \pi$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$sin(\pi + \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) + cos(\pi)sin(\alpha)$

Мы знаем, что $sin(\pi) = 0$ и $cos(\pi) = -1$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$sin(\pi + \alpha) = (0) \cdot cos(\alpha) + (-1) \cdot sin(\alpha) = 0 - sin(\alpha) = -sin(\alpha)$

Таким образом, мы доказали, что $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.

Ответ: Справедливость равенства доказана.

б)

Для доказательства равенства $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

Здесь $x = \pi$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения:

$sin(\pi - \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) - cos(\pi)sin(\alpha)$

Используя значения $sin(\pi) = 0$ и $cos(\pi) = -1$, получаем:

$sin(\pi - \alpha) = (0) \cdot cos(\alpha) - (-1) \cdot sin(\alpha) = 0 + sin(\alpha) = sin(\alpha)$

Таким образом, равенство $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ доказано.

Ответ: Справедливость равенства доказана.

в)

Для доказательства равенства $sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -cos(\alpha)$ применим формулу синуса разности:

$sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

В данном случае $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$.

$sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)cos(\alpha) - cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)sin(\alpha)$

Значения тригонометрических функций для угла $\frac{3\pi}{2}$ равны: $sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ и $cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$. Подставим их:

$sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = (-1) \cdot cos(\alpha) - (0) \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha) - 0 = -cos(\alpha)$

Равенство $sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -cos(\alpha)$ доказано.

Ответ: Справедливость равенства доказана.

г)

Для доказательства равенства $sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -cos(\alpha)$ применим формулу синуса суммы:

$sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$

Здесь $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$.

$sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)cos(\alpha) + cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)sin(\alpha)$

Подставляя известные значения $sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ и $cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$, получаем:

$sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = (-1) \cdot cos(\alpha) + (0) \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha) + 0 = -cos(\alpha)$

Следовательно, равенство $sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -cos(\alpha)$ является верным.

Ответ: Справедливость равенства доказана.

631. a) $\sin(45^{\circ} + \alpha) = \cos(45^{\circ} - \alpha)$;

б) $\cos(45^{\circ} + \alpha) = \sin(45^{\circ} - \alpha)$.

а) Для доказательства данного тождества преобразуем левую и правую части равенства, используя формулы сложения для тригонометрических функций.

Преобразуем левую часть, используя формулу синуса суммы $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$:

$sin(45^\circ + \alpha) = sin(45^\circ)cos(\alpha) + cos(45^\circ)sin(\alpha)$

Так как $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения:

$sin(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) + sin(\alpha))$

Теперь преобразуем правую часть, используя формулу косинуса разности $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$:

$cos(45^\circ - \alpha) = cos(45^\circ)cos(\alpha) + sin(45^\circ)sin(\alpha)$

Подставим те же значения для $sin(45^\circ)$ и $cos(45^\circ)$:

$cos(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) + sin(\alpha))$

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства этого тождества мы также применим формулы сложения для тригонометрических функций.

Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы $cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$:

$cos(45^\circ + \alpha) = cos(45^\circ)cos(\alpha) - sin(45^\circ)sin(\alpha)$

Подставляя значения $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$cos(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) - sin(\alpha))$

Теперь преобразуем правую часть, используя формулу синуса разности $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$:

$sin(45^\circ - \alpha) = sin(45^\circ)cos(\alpha) - cos(45^\circ)sin(\alpha)$

Подставим известные значения синуса и косинуса 45 градусов:

$sin(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) - sin(\alpha))$

Левая и правая части равенства оказались равны. Таким образом, тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано.

Вычислите (632—633):

632. a) $ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $;

б) $ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{5} \sin \frac{4\pi}{5} $;

в) $ \cos 80^\circ \sin 10^\circ + \sin 80^\circ \cos 10^\circ $;

г) $ \cos \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} \sin \frac{3\pi}{8} $.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$. В данном случае $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.
Подставив значения в формулу, получаем:
$\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$. Здесь $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{4\pi}{5}$.
Выполняем сложение углов:
$\sin\frac{\pi}{5} \cos\frac{4\pi}{5} + \cos\frac{\pi}{5} \sin\frac{4\pi}{5} = \sin(\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5}) = \sin(\frac{5\pi}{5}) = \sin(\pi)$.
Значение $\sin(\pi)$ равно 0.
Ответ: 0.

в) Выражение имеет вид $\cos 80^\circ \sin 10^\circ + \sin 80^\circ \cos 10^\circ$. Поменяв слагаемые местами (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), получим $\sin 80^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \sin 10^\circ$. Это соответствует формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta)$ при $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.
Вычисляем сумму:
$\sin(80^\circ + 10^\circ) = \sin(90^\circ)$.
Значение $\sin(90^\circ)$ равно 1.
Ответ: 1.

г) Данное выражение $\cos\frac{3\pi}{8} \sin\frac{\pi}{8} + \cos\frac{\pi}{8} \sin\frac{3\pi}{8}$ также соответствует формуле синуса суммы. Для наглядности можно переставить члены: $\sin\frac{3\pi}{8} \cos\frac{\pi}{8} + \cos\frac{3\pi}{8} \sin\frac{\pi}{8}$. Здесь $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.
Применяем формулу:
$\sin(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{2})$.
Значение $\sin(\frac{\pi}{2})$ равно 1.
Ответ: 1.