Страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

614. a) Вычислите $cos(\alpha - \beta)$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$ и $sin \alpha = -\frac{1}{4}$, $cos \beta = \frac{1}{4}$.

б) Вычислите $cos(\alpha + \beta)$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ и $cos \alpha = -0,8$, $sin \beta = 0,2$.

а)

Для вычисления $cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой косинуса разности:
$cos(\alpha - \beta) = cos\,\alpha \cdot cos\,\beta + sin\,\alpha \cdot sin\,\beta$

По условию нам известны $sin\,\alpha = -\frac{1}{4}$ и $cos\,\beta = \frac{1}{4}$. Чтобы использовать формулу, необходимо найти значения $cos\,\alpha$ и $sin\,\beta$.

1. Найдем $cos\,\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Следовательно, $cos\,\alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.
По условию, угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), а в этой четверти косинус имеет отрицательный знак. Значит, $cos\,\alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

2. Найдем $sin\,\beta$. Используем то же основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.
$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Следовательно, $sin\,\beta = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.
По условию, угол $\beta$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$), а в этой четверти синус имеет отрицательный знак. Значит, $sin\,\beta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

3. Теперь подставим все известные и найденные значения в формулу косинуса разности:
$cos(\alpha - \beta) = cos\,\alpha \cdot cos\,\beta + sin\,\alpha \cdot sin\,\beta = (-\frac{\sqrt{15}}{4}) \cdot (\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4}) = -\frac{\sqrt{15}}{16} + \frac{\sqrt{15}}{16} = 0$.

Ответ: $0$.

б)

Для вычисления $cos(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы:
$cos(\alpha + \beta) = cos\,\alpha \cdot cos\,\beta - sin\,\alpha \cdot sin\,\beta$

По условию нам известны $cos\,\alpha = -0,8$ и $sin\,\beta = 0,2$. Чтобы использовать формулу, необходимо найти значения $sin\,\alpha$ и $cos\,\beta$.

1. Найдем $sin\,\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ получаем:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Следовательно, $sin\,\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6$.
По условию, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где синус положителен. Таким образом, $sin\,\alpha = 0,6$.

2. Найдем $cos\,\beta$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$ получаем:
$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (0,2)^2 = 1 - 0,04 = 0,96$.
Следовательно, $cos\,\beta = \pm\sqrt{0,96} = \pm\sqrt{\frac{96}{100}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \pm\frac{4\sqrt{6}}{10} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5}$.
По условию, угол $\beta$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$), где косинус отрицателен. Таким образом, $cos\,\beta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

3. Подставим все значения в формулу косинуса суммы. Для удобства вычислений представим все значения в виде обыкновенных дробей: $cos\,\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5}$, $sin\,\alpha = 0,6 = \frac{3}{5}$, $sin\,\beta = 0,2 = \frac{1}{5}$.
$cos(\alpha + \beta) = cos\,\alpha \cdot cos\,\beta - sin\,\alpha \cdot sin\,\beta = (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{2\sqrt{6}}{5}) - (\frac{3}{5}) \cdot (\frac{1}{5}) = \frac{8\sqrt{6}}{25} - \frac{3}{25} = \frac{8\sqrt{6}-3}{25}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{6}-3}{25}$.

615. Вычислите:

a) $\frac{\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ}{\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ}$;

б) $\frac{\sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}}$.

а)

Для решения данного примера воспользуемся тригонометрическими формулами сложения углов для косинуса:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Рассмотрим числитель исходной дроби: $\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ$.

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы углов, где $\alpha = 2^\circ$ и $\beta = 28^\circ$.

$\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 2^\circ \sin 28^\circ = \cos(2^\circ + 28^\circ) = \cos 30^\circ$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ$.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности углов, где $\alpha = 47^\circ$ и $\beta = 2^\circ$.

$\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ = \cos(47^\circ - 2^\circ) = \cos 45^\circ$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\frac{\cos 30^\circ}{\cos 45^\circ}$

Значения косинусов для этих углов являются табличными:

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

б)

Для решения этого примера также воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Рассмотрим числитель дроби: $\sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}$.

Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$-(\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5})$

Выражение в скобках является косинусом суммы углов $\alpha = \frac{2\pi}{5}$ и $\beta = \frac{3\pi}{5}$.

$- \cos(\frac{2\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}) = - \cos(\frac{5\pi}{5}) = - \cos(\pi)$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$, получаем, что числитель равен $-(-1) = 1$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}$.

Аналогично числителю, вынесем минус за скобки:

$-(\cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8})$

Выражение в скобках является косинусом суммы углов $\alpha = \frac{\pi}{8}$ и $\beta = \frac{7\pi}{8}$.

$- \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{7\pi}{8}) = - \cos(\frac{8\pi}{8}) = - \cos(\pi)$.

Так как $\cos(\pi) = -1$, знаменатель также равен $-(-1) = 1$.

Теперь вычислим значение всей дроби, подставив найденные значения числителя и знаменателя:

$\frac{1}{1} = 1$

Ответ: $1$.

616. Упростите выражение:

а) $\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)}$;

б) $\frac{\sin \alpha \sin \beta-\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)-\cos \alpha \cos \beta}$, где углы $\alpha$ и $\beta$ такие, что знаменатель не обращается в нуль.

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель дроби.

Преобразуем числитель:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = 2\cos\alpha \cos\beta$

Преобразуем знаменатель:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = 2\sin\alpha \sin\beta$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{2\cos\alpha \cos\beta}{2\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha \cot\beta$

Исходное условие о том, что знаменатель не равен нулю, то есть $2\sin\alpha \sin\beta \neq 0$, гарантирует, что $\sin\alpha \neq 0$ и $\sin\beta \neq 0$, а значит, $\cot\alpha$ и $\cot\beta$ определены.

Ответ: $\cot\alpha \cot\beta$

б)

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим эти формулы в выражение.

Преобразуем числитель:

$\sin\alpha \sin\beta - \cos(\alpha - \beta) = \sin\alpha \sin\beta - (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = -\cos\alpha \cos\beta$

Преобразуем знаменатель:

$\cos(\alpha + \beta) - \cos\alpha \cos\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) - \cos\alpha \cos\beta = -\sin\alpha \sin\beta$

Подставим упрощенные части в дробь:

$\frac{-\cos\alpha \cos\beta}{-\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha \cot\beta$

Условие неравенства знаменателя нулю ($-\sin\alpha \sin\beta \neq 0$) также обеспечивает определённость выражения в ответе.

Ответ: $\cot\alpha \cot\beta$

Вычислите (617–618):

617. а) $\cos \frac{3\pi}{4}$;

б) $\cos \frac{\pi}{12}$;

в) $\cos \frac{7\pi}{12}$;

г) $\cos \frac{11\pi}{12}$.

а) Чтобы вычислить $ \cos\frac{3\pi}{4} $, воспользуемся формулой приведения. Представим угол $ \frac{3\pi}{4} $ в виде разности $ \pi - \frac{\pi}{4} $.
Формула приведения для косинуса имеет вид $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $.
Применяя эту формулу, получаем:
$ \cos\frac{3\pi}{4} = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4} $.
Так как значение $ \cos\frac{\pi}{4} $ является табличным и равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $, то итоговый результат: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

б) Для вычисления $ \cos\frac{\pi}{12} $ необходимо представить угол $ \frac{\pi}{12} $ в виде суммы или разности двух стандартных углов, значения тригонометрических функций которых известны. Например, $ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} $ (что соответствует $ 15^\circ = 60^\circ - 45^\circ $).
Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
$ \cos\frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} $.
Подставим известные табличные значения:
$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Проведем вычисления:
$ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

в) Для вычисления $ \cos\frac{7\pi}{12} $ представим угол $ \frac{7\pi}{12} $ в виде суммы двух стандартных углов: $ \frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} $ (что соответствует $ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $).
Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
$ \cos\frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} $.
Подставим известные значения:
$ \cos\frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $.

г) Чтобы найти значение $ \cos\frac{11\pi}{12} $, можно воспользоваться формулой приведения. Представим угол $ \frac{11\pi}{12} $ как разность $ \pi - \frac{\pi}{12} $.
Используем формулу $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $.
$ \cos\frac{11\pi}{12} = \cos(\pi - \frac{\pi}{12}) = -\cos\frac{\pi}{12} $.
Значение $ \cos\frac{\pi}{12} $ было найдено в пункте б): $ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
Следовательно:
$ \cos\frac{11\pi}{12} = -(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

618. а) $ \cos 75^{\circ} + \cos 15^{\circ} $

б) $ \cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} $

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$\cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2 \cos\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cos\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}$

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

$\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:

$2 \cos 45^\circ \cos 30^\circ$

Мы знаем значения косинусов для этих углов:

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем эти значения и вычисляем результат:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

б) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.

Подставим значения в формулу:

$\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} = -2 \sin\frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}$

Выполним вычисления в аргументах синусов:

$\frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{6}$

Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:

$-2 \sin\frac{\pi}{4} \sin(-\frac{\pi}{6})$

Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$-2 \sin\frac{\pi}{4} \cdot (-\sin\frac{\pi}{6}) = 2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{6}$

Мы знаем значения синусов для этих углов:

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Подставляем эти значения и вычисляем результат:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростите выражение (619–620):

619. a) $\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$;

б) $\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\alpha\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)+\cos\alpha.$

а)

Исходное выражение: $ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

Для упрощения воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $.

Переставим множители во втором слагаемом, чтобы выражение соответствовало формуле: $ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $.

В нашем случае, пусть $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} - \alpha $.

Тогда выражение можно записать в виде косинуса суммы этих углов:

$ \cos\left((\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)\right) $

Упростим выражение в скобках:

$ \frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $

Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(\frac{\pi}{2}) $.

Значение косинуса от $ \frac{\pi}{2} $ равно 0.

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

Ответ: 0

б)

Исходное выражение: $ \cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) + \cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) + \cos\alpha $.

Для упрощения первых двух слагаемых воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $

$ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $

Применим эти формулы к первым двум слагаемым, где $ x = \frac{2\pi}{3} $ и $ y = \alpha $.

$ \cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) - \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha) $

$ \cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) = \cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) + \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha) $

Теперь сложим эти два выражения:

$ \cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) + \cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) = (\cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) - \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha)) + (\cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) + \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha)) $

Слагаемые с синусами взаимно уничтожаются:

$ 2\cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) $

Найдем значение $ \cos(\frac{2\pi}{3}) $. Угол $ \frac{2\pi}{3} $ находится во второй четверти, поэтому его косинус отрицателен. $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$ 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \cos(\alpha) = -\cos(\alpha) $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение вместо первых двух слагаемых:

$ -\cos(\alpha) + \cos(\alpha) = 0 $

Ответ: 0

620. a) $\cos^2 (60^{\circ} + \beta) + \cos^2 (60^{\circ} - \beta) + \cos^2 \beta;$

б) $\cos^2 \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \cos^2 \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + \sin^2 \alpha.$

а) Для упрощения выражения $cos^2(60° + \beta) + cos^2(60° - \beta) + cos^2\beta$ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:
$cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$
$cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$

Применим эти формулы, зная, что $cos(60°) = \frac{1}{2}$ и $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$cos(60° + \beta) = cos(60°)cos\beta - sin(60°)sin\beta = \frac{1}{2}cos\beta - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta$
$cos(60° - \beta) = cos(60°)cos\beta + sin(60°)sin\beta = \frac{1}{2}cos\beta + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta$

Теперь возведем полученные выражения в квадрат:
$cos^2(60° + \beta) = (\frac{1}{2}cos\beta - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta)^2 = \frac{1}{4}cos^2\beta - 2 \cdot \frac{1}{2}cos\beta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta = \frac{1}{4}cos^2\beta - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta cos\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta$
$cos^2(60° - \beta) = (\frac{1}{2}cos\beta + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta)^2 = \frac{1}{4}cos^2\beta + 2 \cdot \frac{1}{2}cos\beta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta = \frac{1}{4}cos^2\beta + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta cos\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta$

Подставим эти выражения обратно в исходное и сложим все три слагаемых:
$(\frac{1}{4}cos^2\beta - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta cos\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta) + (\frac{1}{4}cos^2\beta + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta cos\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta) + cos^2\beta$

Сократим противоположные члены и сгруппируем подобные:
$(\frac{1}{4}cos^2\beta + \frac{1}{4}cos^2\beta + cos^2\beta) + (\frac{3}{4}sin^2\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta)$
$= (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1)cos^2\beta + (\frac{3}{4} + \frac{3}{4})sin^2\beta$
$= \frac{3}{2}cos^2\beta + \frac{3}{2}sin^2\beta$

Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}$ и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$:
$\frac{3}{2}(cos^2\beta + sin^2\beta) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

б) Для упрощения выражения $cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) + cos^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) + sin^2\alpha$ используем тот же подход. Учтем, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

По формулам косинуса разности и суммы:
$cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = cos\alpha cos(\frac{\pi}{6}) + sin\alpha sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sin\alpha$
$cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) = cos\alpha cos(\frac{\pi}{6}) - sin\alpha sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha - \frac{1}{2}sin\alpha$

Возведем в квадрат:
$cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sin\alpha)^2 = \frac{3}{4}cos^2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha cos\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha$
$cos^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha - \frac{1}{2}sin\alpha)^2 = \frac{3}{4}cos^2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha cos\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha$

Подставим в исходное выражение и сложим все три слагаемых:
$(\frac{3}{4}cos^2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha cos\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha) + (\frac{3}{4}cos^2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha cos\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha) + sin^2\alpha$

Сгруппируем подобные слагаемые:
$(\frac{3}{4}cos^2\alpha + \frac{3}{4}cos^2\alpha) + (\frac{1}{4}sin^2\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha + sin^2\alpha)$
$= \frac{6}{4}cos^2\alpha + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1)sin^2\alpha$
$= \frac{3}{2}cos^2\alpha + \frac{3}{2}sin^2\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}$ и используем тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$\frac{3}{2}(cos^2\alpha + sin^2\alpha) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

621. a) Косинус острого угла равен 0,2. Найдите косинус смежного угла.

б) Синус острого угла равен $\frac{1}{3}$. Найдите синус смежного угла.

а)

Пусть острый угол равен $\alpha$. По условию, $\cos(\alpha) = 0,2$.

Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - \alpha$. Нам нужно найти косинус этого угла.

Для нахождения косинуса смежного угла воспользуемся формулой приведения:
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$

Подставим известное значение $\cos(\alpha)$:
$\cos(180^\circ - \alpha) = -0,2$

Так как острый угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, его косинус положителен. Смежный угол $180^\circ - \alpha$ будет тупым (в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$), и его косинус должен быть отрицательным, что соответствует полученному результату.

Ответ: $-0,2$

б)

Пусть острый угол равен $\alpha$. По условию, $\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$.

Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - \alpha$. Нам нужно найти синус этого угла.

Для нахождения синуса смежного угла воспользуемся формулой приведения:
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$

Подставим известное значение $\sin(\alpha)$:
$\sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{3}$

Синус угла в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (включая как острые, так и тупые углы) является положительной величиной. Поэтому синусы смежных углов равны.

Ответ: $\frac{1}{3}$

622. a) Найдите $ \cos \alpha \cos \beta $, если $ \cos(\alpha + \beta) = 0,2 $, $ \cos(\alpha - \beta) = 0,5 $.

б) Найдите $ \sin \alpha \sin \beta $, если $ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{1}{3} $, $ \cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} $.

а) Для решения этой задачи воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Сложим эти два тождества:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$

Упростив правую часть, получим:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$

Из этого уравнения можно выразить искомое произведение:

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}$

Теперь подставим данные из условия задачи: $\cos(\alpha + \beta) = 0,2$ и $\cos(\alpha - \beta) = 0,5$.

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{0,2 + 0,5}{2} = \frac{0,7}{2} = 0,35$

Ответ: $0,35$.

б) Аналогично пункту а), используем формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Чтобы найти произведение $\sin\alpha\sin\beta$, вычтем первое тождество из второго:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$

Упростим правую часть:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = 2\sin\alpha\sin\beta$

Отсюда выразим искомое произведение:

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{2}$

Подставим значения из условия: $\cos(\alpha + \beta) = -\frac{1}{3}$ и $\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5}$.

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{\frac{4}{5} - (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{\frac{4}{5} + \frac{1}{3}}{2}$

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю 15:

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{\frac{4 \cdot 3}{15} + \frac{1 \cdot 5}{15}}{2} = \frac{\frac{12 + 5}{15}}{2} = \frac{\frac{17}{15}}{2}$

Выполним деление:

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{17}{15 \cdot 2} = \frac{17}{30}$

Ответ: $\frac{17}{30}$.