Номер 620, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

620. a) $\cos^2 (60^{\circ} + \beta) + \cos^2 (60^{\circ} - \beta) + \cos^2 \beta;$

б) $\cos^2 \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \cos^2 \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + \sin^2 \alpha.$

а) Для упрощения выражения $cos^2(60° + \beta) + cos^2(60° - \beta) + cos^2\beta$ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:
$cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$
$cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$

Применим эти формулы, зная, что $cos(60°) = \frac{1}{2}$ и $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$cos(60° + \beta) = cos(60°)cos\beta - sin(60°)sin\beta = \frac{1}{2}cos\beta - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta$
$cos(60° - \beta) = cos(60°)cos\beta + sin(60°)sin\beta = \frac{1}{2}cos\beta + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta$

Теперь возведем полученные выражения в квадрат:
$cos^2(60° + \beta) = (\frac{1}{2}cos\beta - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta)^2 = \frac{1}{4}cos^2\beta - 2 \cdot \frac{1}{2}cos\beta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta = \frac{1}{4}cos^2\beta - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta cos\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta$
$cos^2(60° - \beta) = (\frac{1}{2}cos\beta + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta)^2 = \frac{1}{4}cos^2\beta + 2 \cdot \frac{1}{2}cos\beta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta = \frac{1}{4}cos^2\beta + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta cos\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta$

Подставим эти выражения обратно в исходное и сложим все три слагаемых:
$(\frac{1}{4}cos^2\beta - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta cos\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta) + (\frac{1}{4}cos^2\beta + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\beta cos\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta) + cos^2\beta$

Сократим противоположные члены и сгруппируем подобные:
$(\frac{1}{4}cos^2\beta + \frac{1}{4}cos^2\beta + cos^2\beta) + (\frac{3}{4}sin^2\beta + \frac{3}{4}sin^2\beta)$
$= (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1)cos^2\beta + (\frac{3}{4} + \frac{3}{4})sin^2\beta$
$= \frac{3}{2}cos^2\beta + \frac{3}{2}sin^2\beta$

Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}$ и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$:
$\frac{3}{2}(cos^2\beta + sin^2\beta) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

б) Для упрощения выражения $cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) + cos^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) + sin^2\alpha$ используем тот же подход. Учтем, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

По формулам косинуса разности и суммы:
$cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = cos\alpha cos(\frac{\pi}{6}) + sin\alpha sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sin\alpha$
$cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) = cos\alpha cos(\frac{\pi}{6}) - sin\alpha sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha - \frac{1}{2}sin\alpha$

Возведем в квадрат:
$cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sin\alpha)^2 = \frac{3}{4}cos^2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha cos\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha$
$cos^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha - \frac{1}{2}sin\alpha)^2 = \frac{3}{4}cos^2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha cos\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha$

Подставим в исходное выражение и сложим все три слагаемых:
$(\frac{3}{4}cos^2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha cos\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha) + (\frac{3}{4}cos^2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha cos\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha) + sin^2\alpha$

Сгруппируем подобные слагаемые:
$(\frac{3}{4}cos^2\alpha + \frac{3}{4}cos^2\alpha) + (\frac{1}{4}sin^2\alpha + \frac{1}{4}sin^2\alpha + sin^2\alpha)$
$= \frac{6}{4}cos^2\alpha + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1)sin^2\alpha$
$= \frac{3}{2}cos^2\alpha + \frac{3}{2}sin^2\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}$ и используем тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$\frac{3}{2}(cos^2\alpha + sin^2\alpha) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$