Номер 617, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (617–618):

617. а) $\cos \frac{3\pi}{4}$;

б) $\cos \frac{\pi}{12}$;

в) $\cos \frac{7\pi}{12}$;

г) $\cos \frac{11\pi}{12}$.

а) Чтобы вычислить $ \cos\frac{3\pi}{4} $, воспользуемся формулой приведения. Представим угол $ \frac{3\pi}{4} $ в виде разности $ \pi - \frac{\pi}{4} $.
Формула приведения для косинуса имеет вид $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $.
Применяя эту формулу, получаем:
$ \cos\frac{3\pi}{4} = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4} $.
Так как значение $ \cos\frac{\pi}{4} $ является табличным и равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $, то итоговый результат: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

б) Для вычисления $ \cos\frac{\pi}{12} $ необходимо представить угол $ \frac{\pi}{12} $ в виде суммы или разности двух стандартных углов, значения тригонометрических функций которых известны. Например, $ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} $ (что соответствует $ 15^\circ = 60^\circ - 45^\circ $).
Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
$ \cos\frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} $.
Подставим известные табличные значения:
$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Проведем вычисления:
$ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

в) Для вычисления $ \cos\frac{7\pi}{12} $ представим угол $ \frac{7\pi}{12} $ в виде суммы двух стандартных углов: $ \frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} $ (что соответствует $ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $).
Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
$ \cos\frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} $.
Подставим известные значения:
$ \cos\frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $.

г) Чтобы найти значение $ \cos\frac{11\pi}{12} $, можно воспользоваться формулой приведения. Представим угол $ \frac{11\pi}{12} $ как разность $ \pi - \frac{\pi}{12} $.
Используем формулу $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $.
$ \cos\frac{11\pi}{12} = \cos(\pi - \frac{\pi}{12}) = -\cos\frac{\pi}{12} $.
Значение $ \cos\frac{\pi}{12} $ было найдено в пункте б): $ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
Следовательно:
$ \cos\frac{11\pi}{12} = -(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.