Номер 616, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

616. Упростите выражение:

а) $\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)}$;

б) $\frac{\sin \alpha \sin \beta-\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)-\cos \alpha \cos \beta}$, где углы $\alpha$ и $\beta$ такие, что знаменатель не обращается в нуль.

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель дроби.

Преобразуем числитель:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = 2\cos\alpha \cos\beta$

Преобразуем знаменатель:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = 2\sin\alpha \sin\beta$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{2\cos\alpha \cos\beta}{2\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha \cot\beta$

Исходное условие о том, что знаменатель не равен нулю, то есть $2\sin\alpha \sin\beta \neq 0$, гарантирует, что $\sin\alpha \neq 0$ и $\sin\beta \neq 0$, а значит, $\cot\alpha$ и $\cot\beta$ определены.

Ответ: $\cot\alpha \cot\beta$

б)

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим эти формулы в выражение.

Преобразуем числитель:

$\sin\alpha \sin\beta - \cos(\alpha - \beta) = \sin\alpha \sin\beta - (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = -\cos\alpha \cos\beta$

Преобразуем знаменатель:

$\cos(\alpha + \beta) - \cos\alpha \cos\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) - \cos\alpha \cos\beta = -\sin\alpha \sin\beta$

Подставим упрощенные части в дробь:

$\frac{-\cos\alpha \cos\beta}{-\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha \cot\beta$

Условие неравенства знаменателя нулю ($-\sin\alpha \sin\beta \neq 0$) также обеспечивает определённость выражения в ответе.

Ответ: $\cot\alpha \cot\beta$