Номер 614, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

614. a) Вычислите $cos(\alpha - \beta)$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$ и $sin \alpha = -\frac{1}{4}$, $cos \beta = \frac{1}{4}$.

б) Вычислите $cos(\alpha + \beta)$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ и $cos \alpha = -0,8$, $sin \beta = 0,2$.

а)

Для вычисления $cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой косинуса разности:
$cos(\alpha - \beta) = cos\,\alpha \cdot cos\,\beta + sin\,\alpha \cdot sin\,\beta$

По условию нам известны $sin\,\alpha = -\frac{1}{4}$ и $cos\,\beta = \frac{1}{4}$. Чтобы использовать формулу, необходимо найти значения $cos\,\alpha$ и $sin\,\beta$.

1. Найдем $cos\,\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Следовательно, $cos\,\alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.
По условию, угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), а в этой четверти косинус имеет отрицательный знак. Значит, $cos\,\alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

2. Найдем $sin\,\beta$. Используем то же основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.
$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Следовательно, $sin\,\beta = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.
По условию, угол $\beta$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$), а в этой четверти синус имеет отрицательный знак. Значит, $sin\,\beta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

3. Теперь подставим все известные и найденные значения в формулу косинуса разности:
$cos(\alpha - \beta) = cos\,\alpha \cdot cos\,\beta + sin\,\alpha \cdot sin\,\beta = (-\frac{\sqrt{15}}{4}) \cdot (\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4}) = -\frac{\sqrt{15}}{16} + \frac{\sqrt{15}}{16} = 0$.

Ответ: $0$.

б)

Для вычисления $cos(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы:
$cos(\alpha + \beta) = cos\,\alpha \cdot cos\,\beta - sin\,\alpha \cdot sin\,\beta$

По условию нам известны $cos\,\alpha = -0,8$ и $sin\,\beta = 0,2$. Чтобы использовать формулу, необходимо найти значения $sin\,\alpha$ и $cos\,\beta$.

1. Найдем $sin\,\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ получаем:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Следовательно, $sin\,\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6$.
По условию, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где синус положителен. Таким образом, $sin\,\alpha = 0,6$.

2. Найдем $cos\,\beta$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$ получаем:
$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (0,2)^2 = 1 - 0,04 = 0,96$.
Следовательно, $cos\,\beta = \pm\sqrt{0,96} = \pm\sqrt{\frac{96}{100}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \pm\frac{4\sqrt{6}}{10} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5}$.
По условию, угол $\beta$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$), где косинус отрицателен. Таким образом, $cos\,\beta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

3. Подставим все значения в формулу косинуса суммы. Для удобства вычислений представим все значения в виде обыкновенных дробей: $cos\,\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5}$, $sin\,\alpha = 0,6 = \frac{3}{5}$, $sin\,\beta = 0,2 = \frac{1}{5}$.
$cos(\alpha + \beta) = cos\,\alpha \cdot cos\,\beta - sin\,\alpha \cdot sin\,\beta = (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{2\sqrt{6}}{5}) - (\frac{3}{5}) \cdot (\frac{1}{5}) = \frac{8\sqrt{6}}{25} - \frac{3}{25} = \frac{8\sqrt{6}-3}{25}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{6}-3}{25}$.