Номер 612, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

612. Вычислите $\cos(\alpha + \beta)$ и $\cos(\alpha - \beta)$, если $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = \frac{4}{5}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Для вычисления $cos(\alpha + \beta)$ и $cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности. Для этого нам необходимо знать значения $sin \alpha$, $cos \alpha$, $sin \beta$ и $cos \beta$.

По условию задачи, $sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $cos \beta = \frac{4}{5}$. Также даны интервалы для углов: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что оба угла находятся в первой координатной четверти, где все тригонометрические функции (синус и косинус) положительны.

Найдем $cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Поскольку $\alpha$ находится в первой четверти, $cos \alpha$ положителен. Следовательно, $cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Аналогично найдем $sin \beta$ из тождества $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

Поскольку $\beta$ находится в первой четверти, $sin \beta$ положителен. Следовательно, $sin \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчетов: $sin \alpha = \frac{3}{5}$, $cos \alpha = \frac{4}{5}$, $sin \beta = \frac{3}{5}$, $cos \beta = \frac{4}{5}$.

cos(α + β)

Используем формулу косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$.

Подставим значения:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$

cos(α - β)

Используем формулу косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$.

Подставим значения:

$cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

Ответ: $1$