Номер 605, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

605. a) $\frac{\sin (2\pi - \alpha) \sin (\alpha - \pi) \cos (\alpha - 2\pi)}{\cos (2\pi - \alpha) \operatorname{ctg} (\pi - \alpha) \operatorname{tg} (3\pi - \alpha)};$

б) $\frac{\sin (\pi + \alpha) \sin (\alpha - \pi) \cos (2\pi - \alpha) \operatorname{tg} (3\pi - \alpha)}{\cos (\pi - \alpha) \cos (\alpha - 5\pi) \cos (2\pi + \alpha) \operatorname{tg} (-\alpha - \pi)}.$

а)

Требуется упростить выражение $ \frac{\sin(2\pi - \alpha) \sin(\alpha - \pi) \cos(\alpha - 2\pi)}{\cos(2\pi - \alpha) \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) \operatorname{tg}(3\pi - \alpha)} $.

Для этого воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций. Упростим каждый множитель в числителе и знаменателе.

Преобразование числителя:

• $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $, так как угол $ 2\pi - \alpha $ находится в IV четверти, где синус отрицателен.
• $ \sin(\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - \alpha)) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $. Здесь мы использовали нечетность функции синуса ($ \sin(-x) = -\sin(x) $) и формулу приведения для угла $ \pi - \alpha $ (II четверть, синус положителен).
• $ \cos(\alpha - 2\pi) = \cos(-(2\pi - \alpha)) = \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $. Здесь мы использовали четность функции косинуса ($ \cos(-x) = \cos(x) $) и его периодичность с периодом $ 2\pi $.

Таким образом, числитель равен произведению: $ (-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) = \sin^2(\alpha) \cos(\alpha) $.

Преобразование знаменателя:

• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $, так как угол $ 2\pi - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен.
• $ \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha) $, так как угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где котангенс отрицателен.
• $ \operatorname{tg}(3\pi - \alpha) = \operatorname{tg}(2\pi + \pi - \alpha) = \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $. Здесь мы использовали периодичность тангенса с периодом $ \pi $ и то, что во II четверти тангенс отрицателен.

Знаменатель равен произведению: $ \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha)) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha)) = \cos(\alpha) \cdot (\operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)) $.

Поскольку $ \operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha) = 1 $ (при условии, что $ \alpha \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $), знаменатель упрощается до $ \cos(\alpha) $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

Сокращая $ \cos(\alpha) $ (что возможно, так как область определения исходного выражения требует $ \cos(\alpha) \neq 0 $), получаем конечный результат.

Ответ: $ \sin^2(\alpha) $

б)

Требуется упростить выражение $ \frac{\sin(\pi + \alpha) \sin(\alpha - \pi) \cos(2\pi - \alpha) \operatorname{tg}(3\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha) \cos(\alpha - 5\pi) \cos(2\pi + \alpha) \operatorname{tg}(-\alpha - \pi)} $.

Применим формулы приведения к каждому множителю по отдельности.

Преобразование числителя:

• $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (III четверть).
• $ \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (нечетность синуса и II четверть).
• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $ (IV четверть).
• $ \operatorname{tg}(3\pi - \alpha) = \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $ (периодичность и II четверть).

Произведение в числителе: $ (-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha)) = -\sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha) $.

Преобразование знаменателя:

• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (II четверть).
• $ \cos(\alpha - 5\pi) = \cos(5\pi - \alpha) = \cos(4\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (четность и периодичность косинуса).
• $ \cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha) $ (периодичность косинуса).
• $ \operatorname{tg}(-\alpha - \pi) = \operatorname{tg}(-(\pi + \alpha)) = -\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $ (нечетность и периодичность тангенса).

Произведение в знаменателе: $ (-\cos(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha)) = -\cos^3(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha) $.

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{-\sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha)}{-\cos^3(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha)} $.

Сократим общие множители $ -\operatorname{tg}(\alpha) $ и $ \cos(\alpha) $ (при условии их отличия от нуля, что следует из области определения исходного выражения):

$ \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^3(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $.

Используя основное тригонометрическое тождество для тангенса $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, получаем:

$ \left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)^2 = \operatorname{tg}^2(\alpha) $.

Ответ: $ \operatorname{tg}^2(\alpha) $