Номер 599, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

599. Вычислите:

a) sin α, tg α и ctg α, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$;

б) cos α, tg α и ctg α, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$;

в) sin α, tg α и ctg α, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \alpha = -0,6$;

г) cos α, tg α и ctg α, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ и $\sin \alpha = -0,8$;

д) sin α, cos α и ctg α, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\operatorname{tg} \alpha = 2,4$;

е) cos α, sin α и tg α, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\operatorname{ctg} \alpha = -1$;

ж) sin α, если $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$;

з) cos α, если $\operatorname{ctg} \alpha = 1$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

а) Дано, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, это первая координатная четверть. В этой четверти все тригонометрические функции ($\sin\alpha, \cos\alpha, \text{tg}\alpha, \text{ctg}\alpha$) положительны. Известно, что $\cos\alpha = \frac{3}{5}$.
1. Найдем $\sin\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как $\alpha$ в первой четверти, $\sin\alpha > 0$, следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
2. Найдем $\text{tg}\alpha$ по формуле $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\text{tg}\alpha = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
3. Найдем $\text{ctg}\alpha$ по формуле $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\sin\alpha = \frac{4}{5}$, $\text{tg}\alpha = \frac{4}{3}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$.

б) Дано, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, это вторая координатная четверть. В этой четверти $\sin\alpha > 0$, а $\cos\alpha < 0$, $\text{tg}\alpha < 0$, $\text{ctg}\alpha < 0$. Известно, что $\sin\alpha = \frac{1}{2}$.
1. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Так как $\alpha$ во второй четверти, $\cos\alpha < 0$, следовательно, $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
3. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{-1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg}\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\text{ctg}\alpha = -\sqrt{3}$.

в) Дано, что $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, это третья координатная четверть. В этой четверти $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, а $\text{tg}\alpha > 0$ и $\text{ctg}\alpha > 0$. Известно, что $\cos\alpha = -0,6 = -\frac{3}{5}$.
1. Найдем $\sin\alpha$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\sin\alpha < 0$, следовательно, $\sin\alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8$.
2. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-0,8}{-0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
3. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\sin\alpha = -0,8$, $\text{tg}\alpha = \frac{4}{3}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$.

г) Дано, что $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, это четвертая координатная четверть. В этой четверти $\cos\alpha > 0$, а $\sin\alpha < 0$, $\text{tg}\alpha < 0$, $\text{ctg}\alpha < 0$. Известно, что $\sin\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5}$.
1. Найдем $\cos\alpha$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Так как $\alpha$ в четвертой четверти, $\cos\alpha > 0$, следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$.
2. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
3. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $\cos\alpha = 0,6$, $\text{tg}\alpha = -\frac{4}{3}$, $\text{ctg}\alpha = -\frac{3}{4}$.

д) Дано, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, это первая координатная четверть. В этой четверти все функции положительны. Известно, что $\text{tg}\alpha = 2,4 = \frac{12}{5}$.
1. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.
2. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + (2,4)^2} = \frac{1}{1 + 5,76} = \frac{1}{6,76}$.
Так как $\alpha$ в первой четверти, $\cos\alpha > 0$, то $\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{6,76}} = \frac{1}{2,6} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$.
3. Найдем $\sin\alpha$ из формулы $\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$.
$\sin\alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\sin\alpha = \frac{12}{13}$, $\cos\alpha = \frac{5}{13}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{5}{12}$.

е) Дано, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, это вторая координатная четверть. В этой четверти $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\text{tg}\alpha < 0$. Известно, что $\text{ctg}\alpha = -1$.
1. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \frac{1}{-1} = -1$.
2. Найдем $\sin\alpha$ из тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
$\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-1)^2} = \frac{1}{2}$.
Так как $\alpha$ во второй четверти, $\sin\alpha > 0$, то $\sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Найдем $\cos\alpha$ из формулы $\cos\alpha = \text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha$.
$\cos\alpha = -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\text{tg}\alpha = -1$.

ж) Дано, что $\text{tg}\alpha = -\frac{5}{12}$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$, это четвертая координатная четверть. В этой четверти $\sin\alpha < 0$.
1. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.
2. Найдем $\sin\alpha$ из тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
$\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{25}{169}$.
Так как $\alpha$ в четвертой четверти, $\sin\alpha < 0$, то $\sin\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{5}{13}$.

з) Дано, что $\text{ctg}\alpha = 1$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, это третья координатная четверть. В этой четверти $\cos\alpha < 0$.
1. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$.
Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\cos\alpha < 0$, то $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.