Страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

595. а) $\ctg \frac{\pi}{2}$;

б) $\ctg 270^\circ$;

в) $\ctg \frac{\pi}{3}$;

г) $\ctg 90^\circ$;

д) $\ctg \frac{\pi}{4}$;

е) $\ctg 45^\circ$;

ж) $\ctg \frac{\pi}{6}$;

з) $\ctg 0$.

а) Найдем значение котангенса для угла $\frac{\pi}{2}$.

Котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$.

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90^{\circ}$) значения тригонометрических функций равны:

$cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Подставим эти значения в формулу:

$ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{cos(\frac{\pi}{2})}{sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $0$.

б) Найдем значение котангенса для угла $270^{\circ}$.

Используем определение котангенса: $ctg(270^{\circ}) = \frac{cos(270^{\circ})}{sin(270^{\circ})}$.

Значения косинуса и синуса для угла $270^{\circ}$ (что соответствует $\frac{3\pi}{2}$ радиан):

$cos(270^{\circ}) = 0$

$sin(270^{\circ}) = -1$

Подставляем значения:

$ctg(270^{\circ}) = \frac{0}{-1} = 0$.

Ответ: $0$.

в) Найдем значение котангенса для угла $\frac{\pi}{3}$.

Угол $\frac{\pi}{3}$ в радианах соответствует $60^{\circ}$. Это один из стандартных углов.

Используем формулу $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{cos(\frac{\pi}{3})}{sin(\frac{\pi}{3})}$.

Табличные значения для этого угла:

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Найдем значение котангенса для угла $90^{\circ}$.

Этот пример идентичен пункту а), так как $90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

$ctg(90^{\circ}) = \frac{cos(90^{\circ})}{sin(90^{\circ})} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $0$.

д) Найдем значение котангенса для угла $\frac{\pi}{4}$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ в радианах соответствует $45^{\circ}$.

Используем формулу $ctg(\frac{\pi}{4}) = \frac{cos(\frac{\pi}{4})}{sin(\frac{\pi}{4})}$.

Табличные значения для этого угла:

$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Ответ: $1$.

е) Найдем значение котангенса для угла $45^{\circ}$.

Этот пример идентичен пункту д), так как $45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

$ctg(45^{\circ}) = \frac{cos(45^{\circ})}{sin(45^{\circ})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Ответ: $1$.

ж) Найдем значение котангенса для угла $\frac{\pi}{6}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ в радианах соответствует $30^{\circ}$.

Используем формулу $ctg(\frac{\pi}{6}) = \frac{cos(\frac{\pi}{6})}{sin(\frac{\pi}{6})}$.

Табличные значения для этого угла:

$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

з) Найдем значение котангенса для угла $0$.

Имеется в виду угол $0$ радиан или $0^{\circ}$.

Используем определение котангенса: $ctg(0) = \frac{cos(0)}{sin(0)}$.

Значения косинуса и синуса для угла $0$:

$cos(0) = 1$

$sin(0) = 0$

Следовательно, $ctg(0) = \frac{1}{0}$. Операция деления на ноль в математике не определена. Это означает, что котангенс для угла $0$ не существует. График функции $y=ctg(x)$ имеет вертикальную асимптоту в точке $x=0$.

Ответ: не существует (не определен).

596. Какие знаки имеют тангенс и котангенс угла $ \alpha $, если точка единичной окружности, соответствующая углу $ \alpha $, расположена:

В I четверти?

Во II четверти?

В III четверти?

В IV четверти?

Для того чтобы определить знаки тангенса и котангенса угла $\alpha$ в каждой из координатных четвертей, мы будем исходить из их определений на единичной окружности. Для любой точки $P(x; y)$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, ее координаты равны $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

Тангенс и котангенс угла $\alpha$ определяются через синус и косинус этого угла следующими формулами:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$

$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$

Знак частного двух чисел зависит от знаков этих чисел. Следовательно, знак тангенса и котангенса зависит от знаков координат $x$ ($\cos \alpha$) и $y$ ($\sin \alpha$) в соответствующей четверти.

в I четверти

В первой координатной четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) обе координаты точки на единичной окружности положительны: $x > 0$ и $y > 0$.
Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$.
Знак тангенса: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{(+)}{(+)} = +$.
Знак котангенса: $\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{(+)}{(+)} = +$.
Ответ: в I четверти тангенс и котангенс положительны.

во II четверти

Во второй координатной четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$) абсцисса (координата $x$) отрицательна, а ордината (координата $y$) положительна: $x < 0$ и $y > 0$.
Следовательно, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha > 0$.
Знак тангенса: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{(+)}{(-)} = -$.
Знак котангенса: $\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{(-)}{(+)} = -$.
Ответ: во II четверти тангенс и котангенс отрицательны.

в III четверти

В третьей координатной четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$) обе координаты точки на единичной окружности отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$.
Следовательно, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha < 0$.
Знак тангенса: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{(-)}{(-)} = +$.
Знак котангенса: $\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{(-)}{(-)} = +$.
Ответ: в III четверти тангенс и котангенс положительны.

в IV четверти

В четвертой координатной четверти (от $270^\circ$ до $360^\circ$) абсцисса (координата $x$) положительна, а ордината (координата $y$) отрицательна: $x > 0$ и $y < 0$.
Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha < 0$.
Знак тангенса: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{(-)}{(+)} = -$.
Знак котангенса: $\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{(+)}{(-)} = -$.
Ответ: в IV четверти тангенс и котангенс отрицательны.

597. Определите знак выражения:

а) $ \text{tg } 71^{\circ} \text{ tg } 139^{\circ} \text{ tg } 235^{\circ} \text{ tg } 304^{\circ} \text{ tg } (-393^{\circ}) \text{ tg } 1000^{\circ}; $

б) $ \text{ctg } 282^{\circ} \text{ ctg } (-401^{\circ}) \text{ ctg } (-910^{\circ}) \text{ ctg } 140^{\circ} \text{ ctg } 240^{\circ}; $

в) $ \text{cos } 1 \text{ sin } 3 \text{ tg } 4 \text{ ctg } 5 \text{ tg } 2 \text{ tg } 6; $

г) $ \text{tg } 1{,}5 \text{ ctg } 4{,}5 \text{ tg } (-3{,}1) \text{ ctg } (-3{,}1); $

д) $ \frac{\text{sin } 6 + \text{cos } (-4)}{\text{tg } (-2) \cdot \text{ctg } (-4)}; $

е) $ \frac{\text{sin } (-8) + \text{cos } 9}{\text{cos } 11 \cdot \text{tg } (-9)}. $

а) Определим знак каждого множителя в выражении $ \text{tg } 71^\circ \text{ tg } 139^\circ \text{ tg } 235^\circ \text{ tg } 304^\circ \text{ tg}(-393^\circ) \text{ tg } 1000^\circ $.

Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол.

• $ \text{tg } 71^\circ $: Угол $71^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 71^\circ < 90^\circ$), где тангенс положителен. Знак: +.
• $ \text{tg } 139^\circ $: Угол $139^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 139^\circ < 180^\circ$), где тангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{tg } 235^\circ $: Угол $235^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 235^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен. Знак: +.
• $ \text{tg } 304^\circ $: Угол $304^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 304^\circ < 360^\circ$), где тангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{tg}(-393^\circ) $: Используем свойство нечетности тангенса $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $ и периодичность $ \text{tg}(x+360^\circ k) = \text{tg}(x) $.
  $ \text{tg}(-393^\circ) = -\text{tg}(393^\circ) = -\text{tg}(360^\circ + 33^\circ) = -\text{tg}(33^\circ) $. Угол $33^\circ$ в I четверти, $ \text{tg}(33^\circ) > 0 $, значит $ -\text{tg}(33^\circ) < 0 $. Знак: –.
• $ \text{tg } 1000^\circ $: Используем периодичность тангенса. Период тангенса равен $180^\circ$.
  $ 1000^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 100^\circ $.
  $ \text{tg}(1000^\circ) = \text{tg}(100^\circ) $. Угол $100^\circ$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Знак: –.

Перемножим знаки: $ (+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) $.
В произведении четыре отрицательных множителя. Четное число отрицательных множителей дает в итоге положительный результат.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

б) Определим знак каждого множителя в выражении $ \text{ctg } 282^\circ \text{ ctg}(-401^\circ) \text{ ctg}(-910^\circ) \text{ ctg } 140^\circ \text{ ctg } 240^\circ $.

• $ \text{ctg } 282^\circ $: Угол $282^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 282^\circ < 360^\circ$), где котангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{ctg}(-401^\circ) $: Используем свойство нечетности котангенса $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $ и периодичность.
  $ \text{ctg}(-401^\circ) = -\text{ctg}(401^\circ) = -\text{ctg}(2 \cdot 180^\circ + 41^\circ) = -\text{ctg}(41^\circ) $. Угол $41^\circ$ в I четверти, $ \text{ctg}(41^\circ) > 0 $, значит $ -\text{ctg}(41^\circ) < 0 $. Знак: –.
• $ \text{ctg}(-910^\circ) $: Используем нечетность и периодичность.
  $ \text{ctg}(-910^\circ) = -\text{ctg}(910^\circ) = -\text{ctg}(5 \cdot 180^\circ + 10^\circ) = -\text{ctg}(10^\circ) $. Угол $10^\circ$ в I четверти, $ \text{ctg}(10^\circ) > 0 $, значит $ -\text{ctg}(10^\circ) < 0 $. Знак: –.
• $ \text{ctg } 140^\circ $: Угол $140^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$), где котангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{ctg } 240^\circ $: Угол $240^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где котангенс положителен. Знак: +.

Перемножим знаки: $ (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) $.
В произведении четыре отрицательных множителя. Четное число отрицательных множителей дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

в) Определим знак каждого множителя в выражении $ \cos 1 \sin 3 \text{ tg } 4 \text{ ctg } 5 \text{ tg } 2 \text{ tg } 6 $. Углы даны в радианах. Используем приближенные значения: $ \pi \approx 3.14 $, $ \pi/2 \approx 1.57 $, $ 3\pi/2 \approx 4.71 $, $ 2\pi \approx 6.28 $.

• $ \cos 1 $: $ 0 < 1 < \pi/2 $, это I четверть. Косинус положителен. Знак: +.
• $ \sin 3 $: $ \pi/2 < 3 < \pi $, это II четверть. Синус положителен. Знак: +.
• $ \text{tg } 4 $: $ \pi < 4 < 3\pi/2 $, это III четверть. Тангенс положителен. Знак: +.
• $ \text{ctg } 5 $: $ 3\pi/2 < 5 < 2\pi $, это IV четверть. Котангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{tg } 2 $: $ \pi/2 < 2 < \pi $, это II четверть. Тангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{tg } 6 $: $ 3\pi/2 < 6 < 2\pi $, это IV четверть. Тангенс отрицателен. Знак: –.

Перемножим знаки: $ (+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) $.
В произведении три отрицательных множителя. Нечетное число отрицательных множителей дает отрицательный результат.

Ответ: Знак выражения — минус (–).

г) Определим знак выражения $ \text{tg } 1,5 \text{ ctg } 4,5 \text{ tg}(-3,1) \text{ ctg}(-3,1) $.

Рассмотрим произведение $ \text{tg}(-3,1) \text{ ctg}(-3,1) $. Так как $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $ и $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $, то $ \text{tg}(-3,1) \text{ ctg}(-3,1) = (-\text{tg } 3,1)(-\text{ctg } 3,1) = \text{tg } 3,1 \cdot \text{ctg } 3,1 $. Поскольку $ \text{ctg}(x) = 1/\text{tg}(x) $, их произведение равно 1. $ 1 > 0 $. Знак: +.

Теперь определим знаки остальных множителей. Используем приближения: $ \pi/2 \approx 1.57 $, $ \pi \approx 3.14 $, $ 3\pi/2 \approx 4.71 $.

• $ \text{tg } 1,5 $: $ 0 < 1,5 < \pi/2 $, это I четверть. Тангенс положителен. Знак: +.
• $ \text{ctg } 4,5 $: $ \pi < 4,5 < 3\pi/2 $, это III четверть. Котангенс положителен. Знак: +.

Перемножим знаки: $ (+) \cdot (+) \cdot (+) $.
Все множители положительны, значит и произведение положительно.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

д) Определим знак выражения $ \frac{\sin 6 + \cos(-4)}{\text{tg}(-2) \cdot \text{ctg}(-4)} $.

Сначала определим знак числителя: $ \sin 6 + \cos(-4) $.

• $ \sin 6 $: $ 3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28 $, это IV четверть. Синус отрицателен, $ \sin 6 < 0 $.
• $ \cos(-4) $: Используем свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $. $ \cos(-4) = \cos 4 $. $ \pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71 $, это III четверть. Косинус отрицателен, $ \cos 4 < 0 $.

Числитель является суммой двух отрицательных чисел, поэтому он отрицателен: $ (\text{отриц.}) + (\text{отриц.}) < 0 $.

Теперь определим знак знаменателя: $ \text{tg}(-2) \cdot \text{ctg}(-4) $.

• $ \text{tg}(-2) $: Используем свойство нечетности $ \text{tg}(-2) = -\text{tg}(2) $. $ \pi/2 \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14 $, это II четверть, где $ \text{tg}(2) < 0 $. Значит, $ \text{tg}(-2) = -(\text{отриц.}) > 0 $.
• $ \text{ctg}(-4) $: Используем свойство нечетности $ \text{ctg}(-4) = -\text{ctg}(4) $. $ \pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71 $, это III четверть, где $ \text{ctg}(4) > 0 $. Значит, $ \text{ctg}(-4) = -(\text{полож.}) < 0 $.

Знаменатель является произведением положительного и отрицательного чисел, поэтому он отрицателен: $ (+) \cdot (-) < 0 $.

Вся дробь имеет вид $ \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} $. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

е) Определим знак выражения $ \frac{\sin(-8) + \cos 9}{\cos 11 \cdot \text{tg}(-9)} $.

Определим знак числителя: $ \sin(-8) + \cos 9 $.

• $ \sin(-8) $: $ \sin(-8) = -\sin(8) $. Найдем четверть для 8 радиан. $ 2\pi \approx 6.28 $, $ 5\pi/2 \approx 7.85 $, $ 3\pi \approx 9.42 $. $ 2\pi < 8 $. $ 8 - 2\pi \approx 1.72 $. $ \pi/2 \approx 1.57 < 1.72 < \pi \approx 3.14 $, значит 8 радиан — это II четверть. Здесь синус положителен, $ \sin(8) > 0 $. Следовательно, $ \sin(-8) < 0 $.
• $ \cos 9 $: $ 5\pi/2 \approx 7.85 < 9 < 3\pi \approx 9.42 $, это II четверть. Косинус отрицателен, $ \cos 9 < 0 $.

Числитель является суммой двух отрицательных чисел, поэтому он отрицателен: $ (\text{отриц.}) + (\text{отриц.}) < 0 $.

Определим знак знаменателя: $ \cos 11 \cdot \text{tg}(-9) $.

• $ \cos 11 $: $ 3\pi \approx 9.42 < 11 < 7\pi/2 \approx 10.99 $, это III четверть. Косинус отрицателен, $ \cos 11 < 0 $.
• $ \text{tg}(-9) $: $ \text{tg}(-9) = -\text{tg}(9) $. Угол 9 радиан находится во II четверти (см. выше), где тангенс отрицателен, $ \text{tg}(9) < 0 $. Значит, $ \text{tg}(-9) = -(\text{отриц.}) > 0 $.

Знаменатель является произведением отрицательного и положительного чисел, поэтому он отрицателен: $ (-) \cdot (+) < 0 $.

Вся дробь имеет вид $ \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} $. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

598. Доказываем. Для всех $\alpha$, при каждом из которых правая и левая части равенства имеют смысл, докажите справедливость равенства:

а) $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

б) $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

а) Для доказательства тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ преобразуем его левую часть. Используем определение тангенса: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Подставим это определение в левую часть равенства:

$1 + \text{tg}^2\alpha = 1 + \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}.$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}.$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим числитель на 1:

$\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}.$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех $\alpha$, при которых обе части имеют смысл (т.е. при $\cos\alpha \neq 0$).

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ преобразуем его левую часть. Используем определение котангенса: $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Подставим это определение в левую часть равенства:

$1 + \text{ctg}^2\alpha = 1 + \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}.$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}.$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим числитель на 1:

$\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}.$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех $\alpha$, при которых обе части имеют смысл (т.е. при $\sin\alpha \neq 0$).

Ответ: Тождество доказано.

599. Вычислите:

a) sin α, tg α и ctg α, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$;

б) cos α, tg α и ctg α, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$;

в) sin α, tg α и ctg α, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \alpha = -0,6$;

г) cos α, tg α и ctg α, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ и $\sin \alpha = -0,8$;

д) sin α, cos α и ctg α, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\operatorname{tg} \alpha = 2,4$;

е) cos α, sin α и tg α, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\operatorname{ctg} \alpha = -1$;

ж) sin α, если $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$;

з) cos α, если $\operatorname{ctg} \alpha = 1$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

а) Дано, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, это первая координатная четверть. В этой четверти все тригонометрические функции ($\sin\alpha, \cos\alpha, \text{tg}\alpha, \text{ctg}\alpha$) положительны. Известно, что $\cos\alpha = \frac{3}{5}$.
1. Найдем $\sin\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как $\alpha$ в первой четверти, $\sin\alpha > 0$, следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
2. Найдем $\text{tg}\alpha$ по формуле $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\text{tg}\alpha = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
3. Найдем $\text{ctg}\alpha$ по формуле $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\sin\alpha = \frac{4}{5}$, $\text{tg}\alpha = \frac{4}{3}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$.

б) Дано, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, это вторая координатная четверть. В этой четверти $\sin\alpha > 0$, а $\cos\alpha < 0$, $\text{tg}\alpha < 0$, $\text{ctg}\alpha < 0$. Известно, что $\sin\alpha = \frac{1}{2}$.
1. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Так как $\alpha$ во второй четверти, $\cos\alpha < 0$, следовательно, $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
3. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{-1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg}\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\text{ctg}\alpha = -\sqrt{3}$.

в) Дано, что $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, это третья координатная четверть. В этой четверти $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, а $\text{tg}\alpha > 0$ и $\text{ctg}\alpha > 0$. Известно, что $\cos\alpha = -0,6 = -\frac{3}{5}$.
1. Найдем $\sin\alpha$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\sin\alpha < 0$, следовательно, $\sin\alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8$.
2. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-0,8}{-0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
3. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\sin\alpha = -0,8$, $\text{tg}\alpha = \frac{4}{3}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$.

г) Дано, что $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, это четвертая координатная четверть. В этой четверти $\cos\alpha > 0$, а $\sin\alpha < 0$, $\text{tg}\alpha < 0$, $\text{ctg}\alpha < 0$. Известно, что $\sin\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5}$.
1. Найдем $\cos\alpha$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Так как $\alpha$ в четвертой четверти, $\cos\alpha > 0$, следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$.
2. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
3. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $\cos\alpha = 0,6$, $\text{tg}\alpha = -\frac{4}{3}$, $\text{ctg}\alpha = -\frac{3}{4}$.

д) Дано, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, это первая координатная четверть. В этой четверти все функции положительны. Известно, что $\text{tg}\alpha = 2,4 = \frac{12}{5}$.
1. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.
2. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + (2,4)^2} = \frac{1}{1 + 5,76} = \frac{1}{6,76}$.
Так как $\alpha$ в первой четверти, $\cos\alpha > 0$, то $\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{6,76}} = \frac{1}{2,6} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$.
3. Найдем $\sin\alpha$ из формулы $\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$.
$\sin\alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\sin\alpha = \frac{12}{13}$, $\cos\alpha = \frac{5}{13}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{5}{12}$.

е) Дано, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, это вторая координатная четверть. В этой четверти $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\text{tg}\alpha < 0$. Известно, что $\text{ctg}\alpha = -1$.
1. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \frac{1}{-1} = -1$.
2. Найдем $\sin\alpha$ из тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
$\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-1)^2} = \frac{1}{2}$.
Так как $\alpha$ во второй четверти, $\sin\alpha > 0$, то $\sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Найдем $\cos\alpha$ из формулы $\cos\alpha = \text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha$.
$\cos\alpha = -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\text{tg}\alpha = -1$.

ж) Дано, что $\text{tg}\alpha = -\frac{5}{12}$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$, это четвертая координатная четверть. В этой четверти $\sin\alpha < 0$.
1. Найдем $\text{ctg}\alpha$.
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.
2. Найдем $\sin\alpha$ из тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
$\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{25}{169}$.
Так как $\alpha$ в четвертой четверти, $\sin\alpha < 0$, то $\sin\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{5}{13}$.

з) Дано, что $\text{ctg}\alpha = 1$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, это третья координатная четверть. В этой четверти $\cos\alpha < 0$.
1. Найдем $\text{tg}\alpha$.
$\text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$.
Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\cos\alpha < 0$, то $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.