Номер 596, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

596. Какие знаки имеют тангенс и котангенс угла $ \alpha $, если точка единичной окружности, соответствующая углу $ \alpha $, расположена:

В I четверти?

Во II четверти?

В III четверти?

В IV четверти?

Для того чтобы определить знаки тангенса и котангенса угла $\alpha$ в каждой из координатных четвертей, мы будем исходить из их определений на единичной окружности. Для любой точки $P(x; y)$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, ее координаты равны $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

Тангенс и котангенс угла $\alpha$ определяются через синус и косинус этого угла следующими формулами:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$

$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$

Знак частного двух чисел зависит от знаков этих чисел. Следовательно, знак тангенса и котангенса зависит от знаков координат $x$ ($\cos \alpha$) и $y$ ($\sin \alpha$) в соответствующей четверти.

в I четверти

В первой координатной четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) обе координаты точки на единичной окружности положительны: $x > 0$ и $y > 0$.
Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$.
Знак тангенса: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{(+)}{(+)} = +$.
Знак котангенса: $\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{(+)}{(+)} = +$.
Ответ: в I четверти тангенс и котангенс положительны.

во II четверти

Во второй координатной четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$) абсцисса (координата $x$) отрицательна, а ордината (координата $y$) положительна: $x < 0$ и $y > 0$.
Следовательно, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha > 0$.
Знак тангенса: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{(+)}{(-)} = -$.
Знак котангенса: $\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{(-)}{(+)} = -$.
Ответ: во II четверти тангенс и котангенс отрицательны.

в III четверти

В третьей координатной четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$) обе координаты точки на единичной окружности отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$.
Следовательно, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha < 0$.
Знак тангенса: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{(-)}{(-)} = +$.
Знак котангенса: $\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{(-)}{(-)} = +$.
Ответ: в III четверти тангенс и котангенс положительны.

в IV четверти

В четвертой координатной четверти (от $270^\circ$ до $360^\circ$) абсцисса (координата $x$) положительна, а ордината (координата $y$) отрицательна: $x > 0$ и $y < 0$.
Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha < 0$.
Знак тангенса: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{(-)}{(+)} = -$.
Знак котангенса: $\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{(+)}{(-)} = -$.
Ответ: в IV четверти тангенс и котангенс отрицательны.