Номер 593, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

593. Каковы основные формулы для $ \operatorname{tg} \alpha $? для $ \operatorname{ctg} \alpha $? Для каких углов $ \alpha $ они справедливы?

Каковы основные формулы для tg α?

Основными формулами для тангенса угла $ \alpha $ являются:

1. Формула определения тангенса через синус и косинус. Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу. $$ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$

2. Формула, связывающая тангенс с косинусом, которая является следствием основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. $$ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$

для ctg α?

Основными формулами для котангенса угла $ \alpha $ являются:

1. Формула определения котангенса через косинус и синус. Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу. $$ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$

2. Формула, связывающая котангенс с синусом, также следующая из основного тригонометрического тождества. $$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$

3. Формула, выражающая связь между тангенсом и котангенсом. Эти функции являются взаимно обратными. $$ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 $$

Для каких углов α они справедливы?

Область справедливости (или область определения) для каждой формулы зависит от того, какие тригонометрические функции в нее входят.

- Формулы, содержащие $ \text{tg} \alpha $, справедливы для всех углов $ \alpha $, для которых существует тангенс. Тангенс не определен, когда знаменатель в его определении равен нулю, то есть $ \cos \alpha = 0 $. Это происходит при углах $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
Ответ: Формулы для $ \text{tg} \alpha $ справедливы при $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

- Формулы, содержащие $ \text{ctg} \alpha $, справедливы для всех углов $ \alpha $, для которых существует котангенс. Котангенс не определен, когда знаменатель в его определении равен нулю, то есть $ \sin \alpha = 0 $. Это происходит при углах $ \alpha = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
Ответ: Формулы для $ \text{ctg} \alpha $ справедливы при $ \alpha \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

- Формула $ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 $, которая содержит обе функции, справедлива только тогда, когда и тангенс, и котангенс одновременно определены. Это требует выполнения двух условий: $ \cos \alpha \neq 0 $ и $ \sin \alpha \neq 0 $. Таким образом, формула недействительна для углов, где синус или косинус равен нулю, то есть для углов вида $ \alpha = \frac{\pi m}{2} $, где $ m $ — любое целое число ($ m \in \mathbb{Z} $).
Ответ: Формула $ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 $ справедлива при $ \alpha \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $.