Номер 598, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

598. Доказываем. Для всех $\alpha$, при каждом из которых правая и левая части равенства имеют смысл, докажите справедливость равенства:

а) $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

б) $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

а) Для доказательства тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ преобразуем его левую часть. Используем определение тангенса: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Подставим это определение в левую часть равенства:

$1 + \text{tg}^2\alpha = 1 + \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}.$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}.$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим числитель на 1:

$\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}.$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех $\alpha$, при которых обе части имеют смысл (т.е. при $\cos\alpha \neq 0$).

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ преобразуем его левую часть. Используем определение котангенса: $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Подставим это определение в левую часть равенства:

$1 + \text{ctg}^2\alpha = 1 + \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}.$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}.$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим числитель на 1:

$\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}.$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех $\alpha$, при которых обе части имеют смысл (т.е. при $\sin\alpha \neq 0$).

Ответ: Тождество доказано.