Номер 602, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

602. а) $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha; $

б) $ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha}; $

в) $ \sin^2 \beta + \operatorname{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta}; $

г) $ \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha; $

д) $ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}; $

е) $ \frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta}. $

а) Для упрощения выражения $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следуют формулы: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ и $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Также известно, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1$.
Так как $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha$, то $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha$.
Получаем выражение: $\text{ctg}^2 \alpha + 1$.
Используя еще одно тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем окончательный результат.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$

б) Упростим выражение $\frac{\text{tg } \alpha}{\text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha}$.
Сначала упростим знаменатель. Используем тождество $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.
Знаменатель принимает вид: $1 + \text{tg}^2 \alpha$.
Теперь воспользуемся тождеством $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим упрощенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{\text{tg } \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{\text{tg } \alpha}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \text{tg } \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.
Выразим тангенс через синус и косинус: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
Ответ: $\sin \alpha \cos \alpha$

в) Рассмотрим выражение $\sin^2 \beta + \text{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta}$.
Сгруппируем второе и третье слагаемые: $\sin^2 \beta + (\text{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta})$.
Из тождества $1 + \text{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$ следует, что $\text{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta} = -1$.
Подставим это значение в выражение:
$\sin^2 \beta + (-1) = \sin^2 \beta - 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ следует, что $\sin^2 \beta - 1 = -\cos^2 \beta$.
Ответ: $-\cos^2 \beta$

г) Упростим выражение $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.
Сгруппируем первые два члена: $(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha) - \cos^2 \alpha$.
Из тождества $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ следует, что $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$1 - \cos^2 \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$

д) Рассмотрим выражение $\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$.
$(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ (по формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству).
Выполним сложение дробей:
$\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha) + \sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
Упростим числитель: $\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha$.
Получаем дробь: $\frac{2 \sin \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
Сократим дробь на $\sin \alpha$:
$\frac{2}{\sin \alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin \alpha}$

е) Упростим выражение $\frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta)$.
По формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству: $(1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta) = 1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$.
Выполним сложение дробей:
$\frac{\cos \beta (1 + \sin \beta) + \cos \beta (1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta)} = \frac{\cos \beta + \cos \beta \sin \beta + \cos \beta - \cos \beta \sin \beta}{\cos^2 \beta}$.
Упростим числитель: $\cos \beta + \cos \beta \sin \beta + \cos \beta - \cos \beta \sin \beta = 2 \cos \beta$.
Получаем дробь: $\frac{2 \cos \beta}{\cos^2 \beta}$.
Сократим дробь на $\cos \beta$:
$\frac{2}{\cos \beta}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos \beta}$