Страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (600—602):

600¹.a) $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

б) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$;

в) $\frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

г) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha$;

д) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$;

е) $1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$;

ж) $\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$;

з) $\frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$.

а)

Для упрощения выражения $ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Из этого тождества следуют два равенства:
$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $
$ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $
По определению тангенса $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, следовательно $ \text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.
Таким образом, выражение упрощается до $ \text{tg}^2 \alpha $.
Ответ: $ \text{tg}^2 \alpha $.

б)

Упростим выражение $ \frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha} $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Преобразуем числитель: $ \sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha $.
Преобразуем знаменатель: $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 $
По определению котангенса $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.
Следовательно, выражение равно $ -\text{ctg}^2 \alpha $.
Ответ: $ -\text{ctg}^2 \alpha $.

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} $.
Используем основное тригонометрическое тождество для преобразования знаменателя: $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.
Выражение принимает вид:
$ \frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} $
Сократим дробь на $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} $
Используя определение тангенса $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, получаем:
$ 2 \text{tg} \alpha $
Ответ: $ 2 \text{tg} \alpha $.

г)

Упростим выражение $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha $.
Первые два слагаемых, согласно основному тригонометрическому тождеству, дают в сумме 1: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Тогда выражение становится:
$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha $
Это одна из форм основного тригонометрического тождества. Вспомним, что $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $:
$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

д)

Рассмотрим выражение $ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 $.
Приведем к общему знаменателю $ \cos^2 \alpha $:
$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.
Подставим это в числитель:
$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $
Это выражение равно квадрату тангенса: $ \text{tg}^2 \alpha $.
Ответ: $ \text{tg}^2 \alpha $.

е)

Упростим выражение $ 1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.
Приведем к общему знаменателю $ \sin^2 \alpha $:
$ \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} $
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $.
Подставим это в числитель:
$ \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 $
Это выражение равно квадрату котангенса со знаком минус: $ -\text{ctg}^2 \alpha $.
Ответ: $ -\text{ctg}^2 \alpha $.

ж)

Рассмотрим выражение $ \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} $.
Перегруппируем множители в дроби:
$ \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) \cdot \left(\frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) $
По определению тангенса $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Применяя это определение для углов $ \alpha $ и $ \beta $, получаем:
$ \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta $
Ответ: $ \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta $.

з)

Упростим выражение $ \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta} $.
Перегруппируем множители в дроби:
$ \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) \cdot \left(\frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) $
По определению котангенса $ \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $ и тангенса $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Применяя эти определения для углов $ \alpha $ и $ \beta $, получаем:
$ \text{ctg} \alpha \cdot \text{tg} \beta $
Ответ: $ \text{ctg} \alpha \cdot \text{tg} \beta $.

601. а) $sin \beta ctg \beta$;

б) $tg \alpha : ctg \alpha$;

в) $sin \beta : tg \beta$;

г) $cos \alpha tg \alpha$;

д) $cos^2 \alpha (1 + tg^2 \alpha)$;

е) $1 - sin^2 \alpha + ctg^2 \alpha sin^2 \alpha$;

ж) $\frac{tg \alpha + tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta}$;

з) $\frac{cos^2 \alpha - ctg^2 \alpha}{sin^2 \alpha - tg^2 \alpha}$.

а) Упростим выражение $ \sin \beta \operatorname{ctg} \beta $.

Воспользуемся определением котангенса: $ \operatorname{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $

Сократим $ \sin \beta $, так как он присутствует и в числителе, и в знаменателе (при условии, что $ \sin \beta \neq 0 $).

$ \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \cos \beta $

Ответ: $ \cos \beta $

б) Упростим выражение $ \operatorname{tg} \alpha : \operatorname{ctg} \alpha $.

Знак ":" означает деление. Используем тождество $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $.

Получаем:

$ \operatorname{tg} \alpha : \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha $

Ответ: $ \operatorname{tg}^2 \alpha $

в) Упростим выражение $ \sin \beta : \operatorname{tg} \beta $ (предполагается, что `τγ` - это опечатка и имеется в виду `tg`).

Используем определение тангенса: $ \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $.

Подставляем в выражение:

$ \sin \beta : \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $

Сокращаем $ \sin \beta $:

$ \cos \beta $

Ответ: $ \cos \beta $

г) Упростим выражение $ \cos \alpha \operatorname{tg} \alpha $.

Используем определение тангенса: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.

$ \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

Сокращаем $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $).

$ \sin \alpha $

Ответ: $ \sin \alpha $

д) Упростим выражение $ \cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) $.

Используем основное тригонометрическое тождество: $ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Подставляем его в выражение:

$ \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 $

Альтернативный способ:
Раскроем скобки: $ \cos^2 \alpha \cdot 1 + \cos^2 \alpha \cdot \operatorname{tg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.
Сократив $ \cos^2 \alpha $, получим $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $, что по основному тригонометрическому тождеству равно 1.

Ответ: $ 1 $

е) Упростим выражение $ 1 - \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Воспользуемся двумя тождествами:
1. $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $
2. $ \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $

Сначала заменим $ \operatorname{ctg}^2 \alpha $:

$ 1 - \sin^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $

Теперь заменим $ 1 - \sin^2 \alpha $ на $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha $

Ответ: $ 2\cos^2 \alpha $

ж) Упростим выражение $ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta} $.

Преобразуем знаменатель, выразив котангенсы через тангенсы: $ \operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} $.

$ \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta} $

Приводим к общему знаменателю:

$ \frac{\operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $

Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}} = (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} $

Сокращаем одинаковые множители $ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) $:

$ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

з) Упростим выражение $ \frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha} $.

Преобразуем числитель и знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.

Числитель: $ \cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{\sin^2 \alpha} $.
Так как $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $, то числитель равен $ \frac{\cos^2 \alpha (-\cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Знаменатель: $ \sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1)}{\cos^2 \alpha} $.
Так как $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $, то знаменатель равен $ \frac{\sin^2 \alpha (-\sin^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha} = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = \frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^6 = \operatorname{ctg}^6 \alpha $

Ответ: $ \operatorname{ctg}^6 \alpha $

602. а) $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha; $

б) $ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha}; $

в) $ \sin^2 \beta + \operatorname{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta}; $

г) $ \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha; $

д) $ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}; $

е) $ \frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta}. $

а) Для упрощения выражения $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следуют формулы: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ и $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Также известно, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1$.
Так как $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha$, то $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha$.
Получаем выражение: $\text{ctg}^2 \alpha + 1$.
Используя еще одно тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем окончательный результат.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$

б) Упростим выражение $\frac{\text{tg } \alpha}{\text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha}$.
Сначала упростим знаменатель. Используем тождество $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.
Знаменатель принимает вид: $1 + \text{tg}^2 \alpha$.
Теперь воспользуемся тождеством $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим упрощенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{\text{tg } \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{\text{tg } \alpha}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \text{tg } \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.
Выразим тангенс через синус и косинус: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
Ответ: $\sin \alpha \cos \alpha$

в) Рассмотрим выражение $\sin^2 \beta + \text{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta}$.
Сгруппируем второе и третье слагаемые: $\sin^2 \beta + (\text{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta})$.
Из тождества $1 + \text{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$ следует, что $\text{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta} = -1$.
Подставим это значение в выражение:
$\sin^2 \beta + (-1) = \sin^2 \beta - 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ следует, что $\sin^2 \beta - 1 = -\cos^2 \beta$.
Ответ: $-\cos^2 \beta$

г) Упростим выражение $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.
Сгруппируем первые два члена: $(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha) - \cos^2 \alpha$.
Из тождества $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ следует, что $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$1 - \cos^2 \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$

д) Рассмотрим выражение $\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$.
$(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ (по формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству).
Выполним сложение дробей:
$\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha) + \sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
Упростим числитель: $\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha$.
Получаем дробь: $\frac{2 \sin \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
Сократим дробь на $\sin \alpha$:
$\frac{2}{\sin \alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin \alpha}$

е) Упростим выражение $\frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta)$.
По формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству: $(1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta) = 1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$.
Выполним сложение дробей:
$\frac{\cos \beta (1 + \sin \beta) + \cos \beta (1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta)} = \frac{\cos \beta + \cos \beta \sin \beta + \cos \beta - \cos \beta \sin \beta}{\cos^2 \beta}$.
Упростим числитель: $\cos \beta + \cos \beta \sin \beta + \cos \beta - \cos \beta \sin \beta = 2 \cos \beta$.
Получаем дробь: $\frac{2 \cos \beta}{\cos^2 \beta}$.
Сократим дробь на $\cos \beta$:
$\frac{2}{\cos \beta}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos \beta}$

603. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} = \frac{1-\sin \alpha}{\cos \alpha}$ при $\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — некоторое целое число;

б) $\frac{\cos \beta + \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \beta} = 1+\sin \beta$ при $\beta \ne \pi k$, где $k$ — некоторое целое число.

a)

Для доказательства справедливости равенства преобразуем его левую часть. Основной метод для таких выражений — умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю. В данном случае это $1 - \sin \alpha$.

$\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}$

Знаменатель теперь можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Подставим это в знаменатель нашей дроби:

$\frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{\cos^2 \alpha}$

Теперь можно сократить дробь на $\cos \alpha$. Это действие является корректным, поскольку по условию $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, а это означает, что $\cos \alpha \neq 0$.

$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha}$

В результате преобразования левой части равенства мы получили его правую часть. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

б)

Для доказательства этого равенства преобразуем его левую часть. Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{\cos \beta + \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \beta} = \frac{\cos \beta}{\text{ctg} \beta} + \frac{\text{ctg} \beta}{\text{ctg} \beta} = \frac{\cos \beta}{\text{ctg} \beta} + 1$

Далее используем определение котангенса: $\text{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$. Условие $\beta \neq \pi k$ гарантирует, что $\sin \beta \neq 0$, поэтому котангенс существует.

Подставим это в первое слагаемое:

$\frac{\cos \beta}{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}} + 1$

Упростим "двухэтажную" дробь, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$\cos \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + 1$

Сокращаем $\cos \beta$. Это возможно, так как для того чтобы исходное выражение имело смысл, его знаменатель $\text{ctg} \beta$ не должен равняться нулю, что в свою очередь означает $\cos \beta \neq 0$.

$\sin \beta + 1$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех значений $\beta$, при которых левая часть определена.

Ответ: Равенство справедливо.

Упростите выражение (604–606):

604. a) $\frac{\text{tg}(\alpha + \pi) - \text{tg}(\beta + 2\pi)}{\text{ctg}(-\beta) - \text{ctg}(-\alpha)};$

б) $\frac{\text{ctg}(\pi - \alpha) + \text{tg}(-\alpha)}{\text{ctg}(\alpha + 3\pi) - \text{tg}(\alpha + 2\pi)}.$

а)

Дано выражение: $\frac{\text{tg}(\alpha + \pi) - \text{tg}(\beta + 2\pi)}{\text{ctg}(-\beta) - \text{ctg}(-\alpha)}$

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами тригонометрических функций: периодичностью и четностью/нечетностью.

1. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(\alpha + \pi) = \text{tg}(\alpha)$ и $\text{tg}(\beta + 2\pi) = \text{tg}(\beta)$.

2. Котангенс является нечетной функцией, поэтому $\text{ctg}(-\beta) = -\text{ctg}(\beta)$ и $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{-\text{ctg}(\beta) - (-\text{ctg}(\alpha))} = \frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{\text{ctg}(\alpha) - \text{ctg}(\beta)}$

Теперь выразим котангенсы через тангенсы, используя формулу $\text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)}$:

$\frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{\frac{1}{\text{tg}(\alpha)} - \frac{1}{\text{tg}(\beta)}}$

Приведем знаменатель к общему знаменателю:

$\frac{1}{\text{tg}(\alpha)} - \frac{1}{\text{tg}(\beta)} = \frac{\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{\frac{\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}} = (\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)) \cdot \frac{\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}{\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)}$

Заметим, что $\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta) = -(\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha))$.

$\frac{-(\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)) \cdot \text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}{\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)} = -\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)$

Ответ: $-\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)$

б)

Дано выражение: $\frac{\text{ctg}(\pi - \alpha) + \text{tg}(-\alpha)}{\text{ctg}(\alpha + 3\pi) - \text{tg}(\alpha + 2\pi)}$

Упростим каждый член выражения, используя формулы приведения и свойства периодичности.

1. В числителе:

- По формуле приведения $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен).

- Тангенс — нечетная функция, поэтому $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.

2. В знаменателе:

- Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(\alpha + 3\pi) = \text{ctg}(\alpha)$.

- Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(\alpha + 2\pi) = \text{tg}(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{-\text{ctg}(\alpha) + (-\text{tg}(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha)} = \frac{-(\text{ctg}(\alpha) + \text{tg}(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha)}$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Преобразуем числитель:

$-(\text{ctg}(\alpha) + \text{tg}(\alpha)) = -(\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}) = -(\frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}) = -\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Преобразуем знаменатель:

$\text{ctg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{-\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} = -\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)} = -\frac{1}{\cos(2\alpha)}$

Ответ: $-\frac{1}{\cos(2\alpha)}$

605. a) $\frac{\sin (2\pi - \alpha) \sin (\alpha - \pi) \cos (\alpha - 2\pi)}{\cos (2\pi - \alpha) \operatorname{ctg} (\pi - \alpha) \operatorname{tg} (3\pi - \alpha)};$

б) $\frac{\sin (\pi + \alpha) \sin (\alpha - \pi) \cos (2\pi - \alpha) \operatorname{tg} (3\pi - \alpha)}{\cos (\pi - \alpha) \cos (\alpha - 5\pi) \cos (2\pi + \alpha) \operatorname{tg} (-\alpha - \pi)}.$

а)

Требуется упростить выражение $ \frac{\sin(2\pi - \alpha) \sin(\alpha - \pi) \cos(\alpha - 2\pi)}{\cos(2\pi - \alpha) \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) \operatorname{tg}(3\pi - \alpha)} $.

Для этого воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций. Упростим каждый множитель в числителе и знаменателе.

Преобразование числителя:

• $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $, так как угол $ 2\pi - \alpha $ находится в IV четверти, где синус отрицателен.
• $ \sin(\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - \alpha)) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $. Здесь мы использовали нечетность функции синуса ($ \sin(-x) = -\sin(x) $) и формулу приведения для угла $ \pi - \alpha $ (II четверть, синус положителен).
• $ \cos(\alpha - 2\pi) = \cos(-(2\pi - \alpha)) = \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $. Здесь мы использовали четность функции косинуса ($ \cos(-x) = \cos(x) $) и его периодичность с периодом $ 2\pi $.

Таким образом, числитель равен произведению: $ (-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) = \sin^2(\alpha) \cos(\alpha) $.

Преобразование знаменателя:

• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $, так как угол $ 2\pi - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен.
• $ \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha) $, так как угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где котангенс отрицателен.
• $ \operatorname{tg}(3\pi - \alpha) = \operatorname{tg}(2\pi + \pi - \alpha) = \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $. Здесь мы использовали периодичность тангенса с периодом $ \pi $ и то, что во II четверти тангенс отрицателен.

Знаменатель равен произведению: $ \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha)) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha)) = \cos(\alpha) \cdot (\operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)) $.

Поскольку $ \operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha) = 1 $ (при условии, что $ \alpha \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $), знаменатель упрощается до $ \cos(\alpha) $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

Сокращая $ \cos(\alpha) $ (что возможно, так как область определения исходного выражения требует $ \cos(\alpha) \neq 0 $), получаем конечный результат.

Ответ: $ \sin^2(\alpha) $

б)

Требуется упростить выражение $ \frac{\sin(\pi + \alpha) \sin(\alpha - \pi) \cos(2\pi - \alpha) \operatorname{tg}(3\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha) \cos(\alpha - 5\pi) \cos(2\pi + \alpha) \operatorname{tg}(-\alpha - \pi)} $.

Применим формулы приведения к каждому множителю по отдельности.

Преобразование числителя:

• $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (III четверть).
• $ \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (нечетность синуса и II четверть).
• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $ (IV четверть).
• $ \operatorname{tg}(3\pi - \alpha) = \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $ (периодичность и II четверть).

Произведение в числителе: $ (-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha)) = -\sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha) $.

Преобразование знаменателя:

• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (II четверть).
• $ \cos(\alpha - 5\pi) = \cos(5\pi - \alpha) = \cos(4\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (четность и периодичность косинуса).
• $ \cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha) $ (периодичность косинуса).
• $ \operatorname{tg}(-\alpha - \pi) = \operatorname{tg}(-(\pi + \alpha)) = -\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $ (нечетность и периодичность тангенса).

Произведение в знаменателе: $ (-\cos(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha)) = -\cos^3(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha) $.

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{-\sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha)}{-\cos^3(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha)} $.

Сократим общие множители $ -\operatorname{tg}(\alpha) $ и $ \cos(\alpha) $ (при условии их отличия от нуля, что следует из области определения исходного выражения):

$ \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^3(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $.

Используя основное тригонометрическое тождество для тангенса $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, получаем:

$ \left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)^2 = \operatorname{tg}^2(\alpha) $.

Ответ: $ \operatorname{tg}^2(\alpha) $

606. a) $ \frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha - 2 \sin^2 \alpha + 1} $;

б) $ \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} $.

¹ В заданиях 600–606 углы $\alpha$ и $\beta$ таковы, что данные числовые выражения имеют смысл.

а) Упростим выражение $\frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1}$.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем минус за скобки:

$1 - (\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Возведем его в квадрат:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = 1^2$

$\sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1$

Отсюда выразим сумму четвертых степеней:

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

Подставим это выражение обратно в числитель исходной дроби:

$1 - (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что это формула квадрата разности:

$\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 = (\sin^2 \alpha - 1)^2$

Из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$. Тогда знаменатель равен:

$(-\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^4 \alpha}$

Сократим дробь на $\cos^2 \alpha$ (по условию выражение имеет смысл, значит знаменатель не равен нулю, следовательно $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2 \tan^2 \alpha$.

Ответ: $2 \tan^2 \alpha$.

б) Упростим выражение $\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$.

Преобразуем числитель, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)$

Сгруппируем слагаемые во второй скобке и применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:

$(\cos \alpha - \sin \alpha)((\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha) = (\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$

Теперь подставим преобразованный числитель в исходную дробь:

$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$ (по условию выражение имеет смысл, значит знаменатель не равен нулю):

$\cos \alpha - \sin \alpha$.

Ответ: $\cos \alpha - \sin \alpha$.