Номер 601, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

601. а) $sin \beta ctg \beta$;

б) $tg \alpha : ctg \alpha$;

в) $sin \beta : tg \beta$;

г) $cos \alpha tg \alpha$;

д) $cos^2 \alpha (1 + tg^2 \alpha)$;

е) $1 - sin^2 \alpha + ctg^2 \alpha sin^2 \alpha$;

ж) $\frac{tg \alpha + tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta}$;

з) $\frac{cos^2 \alpha - ctg^2 \alpha}{sin^2 \alpha - tg^2 \alpha}$.

а) Упростим выражение $ \sin \beta \operatorname{ctg} \beta $.

Воспользуемся определением котангенса: $ \operatorname{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $

Сократим $ \sin \beta $, так как он присутствует и в числителе, и в знаменателе (при условии, что $ \sin \beta \neq 0 $).

$ \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \cos \beta $

Ответ: $ \cos \beta $

б) Упростим выражение $ \operatorname{tg} \alpha : \operatorname{ctg} \alpha $.

Знак ":" означает деление. Используем тождество $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $.

Получаем:

$ \operatorname{tg} \alpha : \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha $

Ответ: $ \operatorname{tg}^2 \alpha $

в) Упростим выражение $ \sin \beta : \operatorname{tg} \beta $ (предполагается, что `τγ` - это опечатка и имеется в виду `tg`).

Используем определение тангенса: $ \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $.

Подставляем в выражение:

$ \sin \beta : \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $

Сокращаем $ \sin \beta $:

$ \cos \beta $

Ответ: $ \cos \beta $

г) Упростим выражение $ \cos \alpha \operatorname{tg} \alpha $.

Используем определение тангенса: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.

$ \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

Сокращаем $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $).

$ \sin \alpha $

Ответ: $ \sin \alpha $

д) Упростим выражение $ \cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) $.

Используем основное тригонометрическое тождество: $ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Подставляем его в выражение:

$ \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 $

Альтернативный способ:
Раскроем скобки: $ \cos^2 \alpha \cdot 1 + \cos^2 \alpha \cdot \operatorname{tg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.
Сократив $ \cos^2 \alpha $, получим $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $, что по основному тригонометрическому тождеству равно 1.

Ответ: $ 1 $

е) Упростим выражение $ 1 - \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Воспользуемся двумя тождествами:
1. $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $
2. $ \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $

Сначала заменим $ \operatorname{ctg}^2 \alpha $:

$ 1 - \sin^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $

Теперь заменим $ 1 - \sin^2 \alpha $ на $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha $

Ответ: $ 2\cos^2 \alpha $

ж) Упростим выражение $ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta} $.

Преобразуем знаменатель, выразив котангенсы через тангенсы: $ \operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} $.

$ \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta} $

Приводим к общему знаменателю:

$ \frac{\operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $

Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}} = (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} $

Сокращаем одинаковые множители $ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) $:

$ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

з) Упростим выражение $ \frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha} $.

Преобразуем числитель и знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.

Числитель: $ \cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{\sin^2 \alpha} $.
Так как $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $, то числитель равен $ \frac{\cos^2 \alpha (-\cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Знаменатель: $ \sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1)}{\cos^2 \alpha} $.
Так как $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $, то знаменатель равен $ \frac{\sin^2 \alpha (-\sin^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha} = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = \frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^6 = \operatorname{ctg}^6 \alpha $

Ответ: $ \operatorname{ctg}^6 \alpha $