Номер 608, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

608. а) $ \cos 15^\circ $;

б) $ \cos 75^\circ $;

в) $ \cos 105^\circ $.

а)

Для вычисления $ \cos 15^\circ $ представим угол $ 15^\circ $ в виде разности двух стандартных углов, например, $ 45^\circ - 30^\circ $. Воспользуемся формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 45^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $:

$ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ $.

Мы знаем значения тригонометрических функций для стандартных углов:

$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

б)

Для вычисления $ \cos 75^\circ $ представим угол $ 75^\circ $ в виде суммы двух стандартных углов, например, $ 45^\circ + 30^\circ $. Воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 45^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $:

$ \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ $.

Используя те же значения, что и в предыдущем пункте:

$ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

в)

Для вычисления $ \cos 105^\circ $ представим угол $ 105^\circ $ в виде суммы двух стандартных углов, например, $ 60^\circ + 45^\circ $. Воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $:

$ \cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ $.

Значения тригонометрических функций для этих углов:

$ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $