Номер 613, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

613. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

a) $cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha$;

б) $cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$.

а)

Для доказательства равенства $cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha$ воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

В нашем случае $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2})\cos\alpha + \sin(\frac{3\pi}{2})\sin\alpha$.

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{3\pi}{2}$. На единичной окружности этому углу (270°) соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Следовательно:

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Теперь подставим эти числовые значения обратно в наше выражение:

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (0) \cdot \cos\alpha + (-1) \cdot \sin\alpha = 0 - \sin\alpha = -\sin\alpha$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Для доказательства равенства $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

Здесь $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$. Подставляем в формулу:

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2})\cos\alpha - \sin(\frac{3\pi}{2})\sin\alpha$.

Используем те же значения, что и в предыдущем пункте:

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Подставим эти значения в выражение:

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = (0) \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = 0 + \sin\alpha = \sin\alpha$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.