Номер 619, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (619–620):

619. a) $\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$;

б) $\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\alpha\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)+\cos\alpha.$

а)

Исходное выражение: $ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

Для упрощения воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $.

Переставим множители во втором слагаемом, чтобы выражение соответствовало формуле: $ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $.

В нашем случае, пусть $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} - \alpha $.

Тогда выражение можно записать в виде косинуса суммы этих углов:

$ \cos\left((\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)\right) $

Упростим выражение в скобках:

$ \frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $

Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(\frac{\pi}{2}) $.

Значение косинуса от $ \frac{\pi}{2} $ равно 0.

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

Ответ: 0

б)

Исходное выражение: $ \cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) + \cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) + \cos\alpha $.

Для упрощения первых двух слагаемых воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $

$ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $

Применим эти формулы к первым двум слагаемым, где $ x = \frac{2\pi}{3} $ и $ y = \alpha $.

$ \cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) - \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha) $

$ \cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) = \cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) + \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha) $

Теперь сложим эти два выражения:

$ \cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) + \cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) = (\cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) - \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha)) + (\cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) + \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha)) $

Слагаемые с синусами взаимно уничтожаются:

$ 2\cos(\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha) $

Найдем значение $ \cos(\frac{2\pi}{3}) $. Угол $ \frac{2\pi}{3} $ находится во второй четверти, поэтому его косинус отрицателен. $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$ 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \cos(\alpha) = -\cos(\alpha) $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение вместо первых двух слагаемых:

$ -\cos(\alpha) + \cos(\alpha) = 0 $

Ответ: 0