Номер 626, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

626. a) $\sin(\pi - \alpha)$;

б) $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$;

в) $\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2}\right)$;

г) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$;

д) $\sin\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}\right)$;

е) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right)$.

а)

Для упрощения выражения $ \sin(\pi - \alpha) $ воспользуемся формулой приведения. Согласно правилам приведения, если в формуле присутствует $ \pi $ или $ 2\pi $, название тригонометрической функции не изменяется. Знак результата определяется знаком исходной функции в соответствующей четверти. Угол $ \pi - \alpha $ (при условии, что $ \alpha $ - острый угол) находится во второй координатной четверти, где синус положителен.
Таким образом, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Также можно применить формулу синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\pi)\cos(\alpha) - \cos(\pi)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) $.

Ответ: $ \sin(\alpha) $

б)

Для упрощения выражения $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
Теперь применим формулу приведения для $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Если в формуле присутствует $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $, синус меняется на косинус. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ (при остром $ \alpha $) находится в первой четверти, где синус положителен, поэтому знак не меняется.
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
Следовательно, $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

в)

Сначала вычислим значение аргумента синуса:
$ \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} $.
Теперь найдем значение $ \sin(-\frac{\pi}{3}) $. Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:
$ \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) $.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Таким образом, $ \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

г)

Для вычисления $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) $ можно использовать формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{6} $, поэтому:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $.
Значение $ \cos(\frac{\pi}{6}) $ из таблицы равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Альтернативный способ — сначала вычислить аргумент:
$ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $.
Тогда $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

д)

Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся результатом, полученным в пункте б): $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha) $.
Подставив $ \alpha = \frac{\pi}{7} $, получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{7}) $.
Так как $ \frac{\pi}{7} $ не является стандартным табличным углом, ответ остается в таком виде.

Ответ: $ -\cos(\frac{\pi}{7}) $

е)

Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) $ воспользуемся формулой приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
Подставив $ \alpha = \frac{\pi}{7} $, получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{\pi}{7}) $.
Поскольку $ \frac{\pi}{7} $ не является стандартным табличным углом, ответ записывается в этой форме.

Ответ: $ \cos(\frac{\pi}{7}) $