Номер 631, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

631. a) $\sin(45^{\circ} + \alpha) = \cos(45^{\circ} - \alpha)$;

б) $\cos(45^{\circ} + \alpha) = \sin(45^{\circ} - \alpha)$.

а) Для доказательства данного тождества преобразуем левую и правую части равенства, используя формулы сложения для тригонометрических функций.

Преобразуем левую часть, используя формулу синуса суммы $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$:

$sin(45^\circ + \alpha) = sin(45^\circ)cos(\alpha) + cos(45^\circ)sin(\alpha)$

Так как $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения:

$sin(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) + sin(\alpha))$

Теперь преобразуем правую часть, используя формулу косинуса разности $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$:

$cos(45^\circ - \alpha) = cos(45^\circ)cos(\alpha) + sin(45^\circ)sin(\alpha)$

Подставим те же значения для $sin(45^\circ)$ и $cos(45^\circ)$:

$cos(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) + sin(\alpha))$

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства этого тождества мы также применим формулы сложения для тригонометрических функций.

Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы $cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$:

$cos(45^\circ + \alpha) = cos(45^\circ)cos(\alpha) - sin(45^\circ)sin(\alpha)$

Подставляя значения $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$cos(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) - sin(\alpha))$

Теперь преобразуем правую часть, используя формулу синуса разности $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$:

$sin(45^\circ - \alpha) = sin(45^\circ)cos(\alpha) - cos(45^\circ)sin(\alpha)$

Подставим известные значения синуса и косинуса 45 градусов:

$sin(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) - sin(\alpha))$

Левая и правая части равенства оказались равны. Таким образом, тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано.