Номер 628, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

628. Приведите числовое выражение к виду синуса или косинуса положительного угла, не превышающего $\frac{\pi}{4}$:

а) $\sin \frac{\pi}{3}$;

б) $\cos \frac{\pi}{3}$;

в) $\sin \frac{5\pi}{7}$;

г) $\cos \frac{6\pi}{13}$.

а) Требуется привести выражение $ \sin\frac{\pi}{3} $ к виду синуса или косинуса положительного угла, не превышающего $ \frac{\pi}{4} $. Угол $ \alpha = \frac{\pi}{3} $. Сравним его с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} $. Так как $ \frac{4\pi}{12} > \frac{3\pi}{12} $, то $ \frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ является положительным, но превышает $ \frac{\pi}{4} $. Воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Применим эту формулу: $ \sin\frac{\pi}{3} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} $. Проверим полученный угол $ \beta = \frac{\pi}{6} $. $ \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} $, что меньше, чем $ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} $. Угол $ \frac{\pi}{6} $ положителен. Таким образом, условие $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{4} $ выполняется.
Ответ: $ \cos\frac{\pi}{6} $.

б) Требуется привести выражение $ \cos\frac{\pi}{3} $. Угол $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ превышает $ \frac{\pi}{4} $, как было показано в пункте а). Воспользуемся формулой приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Применим эту формулу: $ \cos\frac{\pi}{3} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} $. Полученный угол $ \beta = \frac{\pi}{6} $ удовлетворяет условию $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{4} $, так как $ \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{6} $.

в) Требуется привести выражение $ \sin\frac{5\pi}{7} $. Угол $ \alpha = \frac{5\pi}{7} $. Сравним его с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{5\pi}{7} = \frac{20\pi}{28} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{28} $. Так как $ \frac{20\pi}{28} > \frac{7\pi}{28} $, то $ \frac{5\pi}{7} > \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{5\pi}{7} $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi $). Воспользуемся формулой приведения для синуса $ \sin\alpha = \sin(\pi - \alpha) $. $ \sin\frac{5\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{5\pi}{7}) = \sin(\frac{7\pi - 5\pi}{7}) = \sin\frac{2\pi}{7} $. Теперь у нас есть выражение $ \sin\frac{2\pi}{7} $. Проверим угол $ \frac{2\pi}{7} $ на соответствие условию. Сравним $ \frac{2\pi}{7} $ с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{2\pi}{7} = \frac{8\pi}{28} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{28} $. Так как $ \frac{8\pi}{28} > \frac{7\pi}{28} $, то $ \frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{4} $. Угол все еще слишком велик. Применим еще одну формулу приведения: $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. $ \sin\frac{2\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi}{14} - \frac{4\pi}{14}) = \cos\frac{3\pi}{14} $. Проверим полученный угол $ \beta = \frac{3\pi}{14} $. Сравним $ \frac{3\pi}{14} $ с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{3\pi}{14} = \frac{6\pi}{28} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{28} $. Так как $ \frac{6\pi}{28} < \frac{7\pi}{28} $, то $ \frac{3\pi}{14} < \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{3\pi}{14} $ положителен. Условие $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{4} $ выполняется.
Ответ: $ \cos\frac{3\pi}{14} $.

г) Требуется привести выражение $ \cos\frac{6\pi}{13} $. Угол $ \alpha = \frac{6\pi}{13} $. Сравним его с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{6\pi}{13} = \frac{24\pi}{52} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{52} $. Так как $ \frac{24\pi}{52} > \frac{13\pi}{52} $, то $ \frac{6\pi}{13} > \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{6\pi}{13} $ является положительным, но превышает $ \frac{\pi}{4} $. Воспользуемся формулой приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Применим эту формулу: $ \cos\frac{6\pi}{13} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{13}) = \sin(\frac{13\pi}{26} - \frac{12\pi}{26}) = \sin\frac{\pi}{26} $. Проверим полученный угол $ \beta = \frac{\pi}{26} $. Так как $ 26 > 4 $, то $ \frac{\pi}{26} < \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{\pi}{26} $ положителен. Таким образом, условие $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{4} $ выполняется.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{26} $.