Номер 629, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

629. Запишите формулу:

а) синуса суммы двух углов;

б) синуса разности двух углов;

в) косинуса суммы двух углов;

г) косинуса разности двух углов.

а) синуса суммы двух углов;

Формула синуса суммы двух углов, которые мы обозначим как $\alpha$ и $\beta$, позволяет выразить синус составного угла $(\alpha + \beta)$ через тригонометрические функции исходных углов $\alpha$ и $\beta$. Согласно этой формуле, синус суммы двух углов равен сумме произведения синуса первого угла на косинус второго и произведения косинуса первого угла на синус второго.

Ответ: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

б) синуса разности двух углов;

Формула синуса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$ аналогична формуле синуса суммы, но отличается знаком. Синус разности двух углов равен разности произведения синуса первого угла на косинус второго и произведения косинуса первого угла на синус второго. Эту формулу можно получить из предыдущей, представив разность $\alpha - \beta$ как сумму $\alpha + (-\beta)$ и учтя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-\beta) = -\sin\beta$ и $\cos(-\beta) = \cos\beta$.

Ответ: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

в) косинуса суммы двух углов;

Формула косинуса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$ имеет другую структуру по сравнению с формулами для синуса. Косинус суммы двух углов равен разности между произведением косинусов этих углов и произведением их синусов. Важно обратить внимание на то, что сумме углов в левой части соответствует знак «минус» в правой части формулы.

Ответ: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

г) косинуса разности двух углов.

Формула косинуса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$ также следует из формулы косинуса суммы путем замены $\beta$ на $-\beta$. Учитывая, что $\cos(-\beta) = \cos\beta$ и $\sin(-\beta) = -\sin\beta$, получаем, что косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения их синусов. Здесь, в отличие от косинуса суммы, разности углов в левой части соответствует знак «плюс» в правой.

Ответ: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$