Номер 633, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

633. а) $\sin 150^{\circ}$;

б) $\sin 105^{\circ}$;

в) $\sin 165^{\circ}$;

г) $\sin 195^{\circ}$.

а) sin 150°

Для нахождения значения $\sin(150^\circ)$ воспользуемся формулой приведения. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Представим $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.

Формула приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Применяем формулу:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение синуса $30^\circ$ является табличным:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) sin 105°

Угол $105^\circ$ не является табличным, но его можно представить в виде суммы двух табличных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

Подставим $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$:

$\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ)$.

Используем табличные значения тригонометрических функций:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

в) sin 165°

Угол $165^\circ$ можно представить как сумму табличных углов или использовать формулы приведения. Представим $165^\circ$ в виде суммы $120^\circ + 45^\circ$.

Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

$\sin(165^\circ) = \sin(120^\circ + 45^\circ) = \sin(120^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(120^\circ)\sin(45^\circ)$.

Найдем значения для $\sin(120^\circ)$ и $\cos(120^\circ)$ с помощью формул приведения:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Теперь подставим все значения в исходную формулу:

$\sin(165^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

г) sin 195°

Угол $195^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Представим $195^\circ$ как сумму углов $150^\circ + 45^\circ$.

Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

$\sin(195^\circ) = \sin(150^\circ + 45^\circ) = \sin(150^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(150^\circ)\sin(45^\circ)$.

Найдем значения для $\sin(150^\circ)$ и $\cos(150^\circ)$:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$\sin(195^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.